Пирамида — ЕГЭ база

Пирамида (Задание 11)

В задании 11 базового ЕГЭ пирамида встречается в двух видах сюжетов: нужно найти объём тела пирамидальной формы (шатёр, палатка, обелиск, постамент) или площадь боковой поверхности (покрасить крышу, сшить тент). Отдельно попадается сюжет на масштабирование - точная музейная копия или макет. Разберём всё по порядку.

Суть темы

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание) - многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники с общей вершиной. Эта вершина называется вершиной пирамиды.

Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник (чаще всего квадрат или равносторонний треугольник), а вершина проецируется в центр основания. У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

У правильной пирамиды есть две разные "высоты", которые легко перепутать:

высота пирамиды $H$ - отрезок от вершины перпендикулярно основанию (из $S$ в центр $O$ );
апофема $a$ - высота боковой грани, опущенная из вершины $S$ на середину стороны основания.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ для пирамиды нужны две формулы и пропорция для подобия.

ВАЖНОЕ

Объём пирамиды

V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H

где $S_{осн}$ - площадь основания, $H$ - высота пирамиды. Объём пирамиды ровно в $3$ раза меньше объёма призмы с таким же основанием и такой же высотой.

ВАЖНОЕ

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot a

где $P_{осн}$ - периметр основания, $a$ - апофема (высота боковой грани). Формула работает только для правильной пирамиды, где все боковые грани равны.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на пирамиду

1. Определи, что спрашивают - объём, площадь боковой поверхности или линейный размер копии. От этого зависит нужная формула.
2. Выдели данные. Для объёма нужны сторона основания и высота $H .$ Для боковой поверхности - сторона основания (для периметра) и апофема $a .$ Для подобия - пара соответствующих размеров.
3. Согласуй единицы. Если данные в метрах, а ответ в сантиметрах (или наоборот) - переведи до подстановки.
4. Подставь в формулу и посчитай. Объём - не забудь множитель $\frac{1}{3} .$ Боковая поверхность - бери апофему, а не высоту пирамиды.
5. Оцени правдоподобность. Шатёр высотой $5$ м имеет объём порядка десятков кубометров, а не тысяч. Если ответ на порядок-два отличается от житейского ожидания - ищи ошибку.

Примеры решения

Разберём три задачи: на объём, на боковую поверхность и на масштабирование.

ПРИМЕР 1

Объём шатра

Условие:
Шатёр имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания равна $6$ м, а высота - $5$ м. Найди объём шатра в кубических метрах.

Решение:

1. Площадь основания - квадрат со стороной $6 :$

S_{осн} = 6^{2} = 36 м^{2}

2. Применим формулу объёма пирамиды:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60 м^{3}

Ответ: $60$

ПРИМЕР 2

Боковая поверхность постамента

Условие:
Постамент под памятник имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания равна $8$ дм, а апофема - $10$ дм. Найди площадь боковой поверхности постамента в квадратных дециметрах.

ПРИМЕР 3

Макет обелиска

Условие:
Обелиск имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона его основания равна $4$ м, а высота - $9$ м. Архитекторы сделали точный макет обелиска. Сторона основания макета равна $8$ см. Найди высоту макета. Ответ дай в сантиметрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли множитель 1/3

Ошибка: Для пирамиды применили формулу объёма призмы $V = S_{осн} \cdot H$ и получили ответ ровно в три раза больше правильного.

Правильно: У пирамиды объём всегда идёт с множителем $\frac{1}{3} :$ $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H .$ Запомни картинку: пирамида "заполняет" только треть объёма призмы с таким же основанием и высотой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Апофема против высоты пирамиды

Ошибка: В формулу боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a$ подставили высоту пирамиды $H$ вместо апофемы $a .$

Правильно: Апофема $a$ - это высота боковой грани (треугольника), опущенная из вершины пирамиды на середину стороны основания. Высота пирамиды $H$ идёт из вершины перпендикулярно основанию в центр. Это разные отрезки, и $a > H$ (апофема - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом $H$ ).

Что запомнить

Объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H .$ Множитель $\frac{1}{3}$ - главное отличие от призмы.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a,$ где $a$ - апофема.
Высота пирамиды $H$ и апофема $a$ - разные отрезки, не путай их.
Для задач на макет или копию: линейные размеры оригинала и модели относятся как коэффициент подобия $k .$
Сначала переводи единицы к одной системе, потом подставляй в формулу.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут. Задачи на пирамиду из 11 задания - одни из самых быстрых в стереометрии базы.
Приоритет: Решай сразу, без откладывания. Формулы простые, чисел немного.
Чертёж: Всегда рисуй эскиз и подписывай, где высота $H,$ а где апофема $a .$ Это спасёт от главной ловушки.
Самопроверка: Для объёма умножь полученный ответ на $3$ и сравни с произведением $S_{осн} \cdot H$ - должно совпасть. Для задачи на копию умножь свой ответ на коэффициент подобия $k$ - должен получиться соответствующий размер оригинала.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле считают объём пирамиды?

2.Что подставляют в формулу боковой поверхности

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a

вместо

a ?

3.Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна

3

м, высота -

4

м. Чему равен объём?

4.Высота обелиска

6

м, у точного макета все размеры в

30

раз меньше. Какова высота макета?