Параллелепипед — ЕГЭ база

Прямоугольный параллелепипед (Задание 13)

Задание 13 ЕГЭ-база проверяет умение работать с объёмными фигурами. Одна из самых частых и понятных — прямоугольный параллелепипед. В бытовом сюжете это комната, холодильник, аквариум, коробка или бассейн. В этом конспекте разберём всё, что нужно для уверенного решения: объём, площадь поверхности и диагональ.

Суть темы

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них прямоугольник. У него три главных измерения: длина, ширина и высота. Обычно их обозначают буквами $a,$ $b$ и $c$ — это рёбра, выходящие из одной вершины.

Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c

Основные формулы

В базе по этой теме спрашивают объём, площадь поверхности или диагональ. Все три формулы короткие.

ВАЖНОЕ

Объём прямоугольного параллелепипеда

V = a \cdot b \cdot c

где $a,$ $b,$ $c$ — длина, ширина и высота. Для куба: $V = a^{3} .$

Площадь поверхности — сумма площадей всех шести граней. Представь, что красишь коробку со всех сторон: пол и потолок, передняя и задняя стенка, две боковые. У параллелепипеда грани попарно равны:

пол и потолок: каждая $a \cdot b;$
передняя и задняя: каждая $a \cdot c;$
две боковые: каждая $b \cdot c .$

ВАЖНОЕ

Площадь полной поверхности

S = 2 \cdot (ab + b c + a c)

Для куба со стороной $a :$ $S = 6 a^{2} .$

Диагональ параллелепипеда — отрезок, который соединяет две противоположные вершины и проходит внутри фигуры. Это самая длинная «струна», которую можно натянуть в комнате из угла в угол.

ВАЖНОЕ

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Это «объёмная» теорема Пифагора: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх рёбер, $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} .$ Для куба: $d = a 3 .$

✓СОВЕТ

Как запомнить формулы

Объём — вместимость, просто перемножь три числа. Поверхность — покраска, сумма трёх попарных произведений, умноженная на $2 .$ Диагональ — «Пифагор в 3D», корень из суммы квадратов.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на параллелепипед

1. Пойми вопрос. Что именно ищем: объём $V,$ площадь поверхности $S,$ диагональ $d$ или неизвестное ребро?
2. Выпиши "дано". Отметь все три измерения $a,$ $b,$ $c .$ Если одно неизвестно — обозначь его буквой $x .$
3. Согласуй единицы. Если в условии метры и сантиметры — переведи всё к одной единице до подстановки.
4. Запиши формулу. Выбери нужную ( $V,$ $S$ или $d$ ) и подставь известные числа.
5. Реши. Прямое вычисление — если все рёбра известны. Линейное уравнение — если ищем ребро через $V$ или $S .$ Корень — если ищем диагональ.
6. Проверь ответ. Объём школьного класса — около $200$ м³; объём стакана — около $200$ см³. Если получилось что-то неправдоподобное — ищи ошибку.

Примеры решения

Разберём три задачи: прямое вычисление объёма, поиск ребра через объём и диагональ.

ПРИМЕР 1

Объём холодильника

Условие:
Холодильник имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями $60$ см, $70$ см и $200$ см. Найди его объём в литрах. Напомним: $1$ литр $= 1000$ см³.

Решение:

1. Объём в кубических сантиметрах:

V = 60 \cdot 70 \cdot 200

V = 4200 \cdot 200 = 840000 см^{3}

2. Переводим в литры, делим на $1000 :$

V = \frac{840 000}{1 000} = 840 л

Ответ: $840$

В ЕГЭ часто дают «обратные» задачи: известен объём, нужно найти поверхность или ребро. Первый шаг — найти недостающее ребро.

ПРИМЕР 2

Аквариум: от объёма к покраске

Условие:
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Сторона основания $4$ дм, а объём аквариума равен $96$ дм³. Сколько квадратных дециметров стекла ушло на его стенки, дно и открытый верх, то есть какова площадь полной поверхности?

ПРИМЕР 3

Диагональ комнаты

Условие:
Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда с длиной $6$ м, шириной $2$ м и высотой $3$ м. Найди длину самой длинной прямой «струны», которую можно натянуть внутри комнаты из угла в угол.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая двойка в площади поверхности

Ошибка: Считают только сумму трёх произведений $ab + b c + a c$ и забывают умножить на $2 .$ В Примере 2 получат $64$ вместо $128 .$

Как правильно: У коробки шесть граней, а не три — они идут попарно. Поэтому сумму попарных произведений всегда умножают на $2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница объёма, поверхности и диагонали

Ошибка: В спешке перемножают три числа, когда просят поверхность, или применяют формулу поверхности к объёму. Или пишут «диагональ» и считают $a + b + c$ без корня.

Как правильно: Объём — три множителя, $V = ab c .$ Поверхность — сумма попарных произведений на $2 .$ Диагональ — корень из суммы квадратов, $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Диагональ грани вместо диагонали фигуры

Прямоугольный параллелепипед в лёгкой аксонометрии с рёбрами

Ошибка: Находят диагональ одной грани (по обычному Пифагору:

a^{2} + b^{2}

) и называют её диагональю параллелепипеда.

Как правильно: Диагональ параллелепипеда проходит через внутренность фигуры и упирается в противоположную вершину. В формуле ровно три квадрата — по одному на каждое ребро.

Что запомнить

Параллелепипед задаётся тремя измерениями: $a,$ $b,$ $c .$
Объём (вместимость): $V = a \cdot b \cdot c .$
Поверхность (покраска): $S = 2 (ab + b c + a c) .$
Диагональ (Пифагор в 3D): $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} .$
Если даны два ребра из трёх, а просят поверхность или диагональ — скорее всего, третье ребро спрятано в объёме. Решай в два шага.
Ответ на ЕГЭ-база всегда аккуратный: целое число или простая десятичная дробь. Некрасивый результат — повод перепроверить.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около $8$ минут.
Приоритет: решай в первом проходе, сразу после алгебры и планиметрии.
Чертёж: всегда рисуй эскиз параллелепипеда, даже если задача кажется простой. Подпиши, где $a,$ где $b$ и где $c,$ — так меньше шансов перепутать формулы.
Самопроверка: подставь ответ обратно в формулу. Для диагонали — возведи её в квадрат и сравни с $a^{2} + b^{2} + c^{2} .$
Когда пропустить: если в двухшаговой задаче на третьем шаге всё равно не сходится, лучше отметь её и вернись после оставшихся заданий: чем уставшая голова, тем больше ошибок в арифметике.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

a,

b,

c ?

2.Рёбра параллелепипеда равны

2,

3

6 .

Чему равна его диагональ?

3.Площадь полной поверхности куба со стороной

3

равна

4.Объём параллелепипеда равен

96,

стороны основания

4

4 .

Чему равна высота?