Перейти к основному содержимому
  1. Математика
  2. Математика (база) ЕГЭ
  3. Теория
  4. Задание 12: Планиметрия
  5. Окружность

Окружность

Содержание
  • Окружность и её элементы (Задание 12)
  • Суть темы
  • Основные формулы и ключевые факты
  • Алгоритм решения
  • Примеры решения
  • Частые ошибки
  • Что запомнить
  • Задачи

Содержание

  • Окружность и её элементы (Задание 12)
  • Суть темы
  • Основные формулы и ключевые факты
  • Алгоритм решения
  • Примеры решения
  • Частые ошибки
  • Что запомнить
  • Задачи

Разобрался в теме? Закрепи на задачах

Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.

Начать решатьВсе конспектыВойти
Был ли конспект полезным?

Окружность и её элементы (Задание 12)

Задание 12 базового ЕГЭ по математике проверяет знание планиметрии. Окружность - одна из самых частых фигур здесь: колесо обозрения, арка моста, циферблат часов, мишень для стрельбы. Задачи базового экзамена редко требуют сложных теорем. Чаще всего всё сводится к пониманию углов или поиску прямоугольного треугольника, спрятанного внутри круга.

Суть темы

Окружность - это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом (R).

В задачах ЕГЭ часто встречаются три важные линии:

1. Хорда - отрезок, соединяющий две точки на окружности. Самая длинная хорда проходит через центр и называется диаметром (D=2R).
2. Касательная - прямая, которая касается окружности ровно в одной точке. Представь рельсы и колесо поезда: точка соприкосновения одна.
3. Секущая - прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Ещё одно важное понятие - дуга. Это часть окружности между двумя точками. Дуга измеряется в градусах так же, как центральный угол: полная окружность - это дуга 360∘, половина - дуга 180∘, четверть - 90∘.

Элементы окружности
Элементы окружности

Основные формулы и ключевые факты

Чтобы успешно решать задачи на окружность, достаточно знать пять базовых фактов. Они покрывают практически все задачи этого типа на базовом ЕГЭ.

ВАЖНОЕ
Факт 1. Касательная и радиус

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Угол между ними всегда равен 90∘.

Касательная и радиус
Касательная и радиус
ВАЖНОЕ
Факт 2. Хорда и расстояние от центра

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. И наоборот: если соединить центр с серединой хорды, этот отрезок будет перпендикулярен хорде.

Теорема о хорде и радиусе
Теорема о хорде и радиусе
Потяни ползунок: перпендикуляр из центра (зелёный) всегда делит хорду ровно пополам.
ВАЖНОЕ
Факт 3. Центральные и вписанные углы

Центральный угол - вершина в центре окружности. Он равен дуге, на которую опирается.
Вписанный угол - вершина лежит на самой окружности. Он равен половине дуги, на которую опирается.
Следствие: вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠вписанный​=21​∠центральный​
Центральный и вписанный углы
Центральный и вписанный углы
Двигай ползунок t: точка C идёт по окружности, а вписанный угол ACB остаётся вдвое меньше центрального AOB.
ВАЖНОЕ
Факт 4. Вписанный четырёхугольник
Окружность с центром O, в которую вписан выпуклый четырёхуго
Окружность с центром O, в которую вписан выпуклый четырёхуго

Если четырёхугольник вписан в окружность (все четыре вершины лежат на ней), то сумма его противоположных углов равна 180∘:
∠A+∠C=180∘,∠B+∠D=180∘
ВАЖНОЕ
Факт 5. Произведение отрезков хорд
Окружность, внутри которой две хорды AB и CD пересекаются в
Окружность, внутри которой две хорды AB и CD пересекаются в

Если две хорды AB и CD пересекаются внутри круга в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:
AM⋅MB=CM⋅MD
✎ЗАМЕТКА
Пифагоровы тройки

Поскольку в задачах с окружностью часто возникают прямоугольные треугольники, полезно помнить популярные тройки чисел для теоремы Пифагора: 3−4−5, 6−8−10, 5−12−13, 8−15−17.

Алгоритм решения

В геометрии правильный дополнительный рисунок - это половина решения.

АЛГОРИТМ
Как решать задачи на окружность

1. Проведи радиусы. Если в задаче есть хорда или касательная, обязательно соедини центр окружности с концами хорды или точкой касания.
2. Найди треугольник. Проведённые радиусы создадут либо равнобедренный треугольник (если проведена хорда), либо прямоугольный (если есть касательная или расстояние до хорды).
3. Используй теорему Пифагора. Если известен радиус и расстояние от центра, теорема Пифагора поможет найти длину хорды или касательной.
4. Внимательно читай вопрос. Убедись, что найденная величина - именно то, о чём спрашивают (например, просят всю хорду, а не её половину).

Примеры решения

Разберём пять задач: от простой работы с углами до типичных сюжетов с хордой, касательной и вписанным четырёхугольником.

ПРИМЕР 1
Колесо обозрения

Условие:
У колеса обозрения 18 кабинок, расположенных через равные промежутки. Кабинка A и кабинка B видны из центра колеса O под центральным углом AOB. Между A и B по окружности - 6 промежутков. Найди величину центрального угла AOB в градусах.

Решение:

1. Полный круг содержит 360∘ и разбит на 18 равных частей.
2. Один промежуток соответствует углу

18360∘​=20∘

3. Между A и B - шесть таких промежутков, значит

∠AOB=6⋅20∘=120∘

Ответ: 120

ПРИМЕР 2
Вписанный и центральный угол

Условие:
Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Центральный угол AOB равен 110∘. Найди величину вписанного угла ACB, если он опирается на ту же дугу AB. Ответ дай в градусах.

Решение:

1. Угол AOB - центральный, значит, дуга AB, на которую он опирается, равна 110∘.
2. Угол ACB - вписанный. По правилу, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
3. Считаем:

∠ACB=2110∘​=55∘

Ответ: 55

ПРИМЕР 3
Поиск длины хорды (арка моста)

Условие:
Арка моста имеет форму дуги окружности. Расстояние от центра окружности до хорды AB (основания арки) равно 5 м. Найди длину хорды AB, если радиус окружности равен 13 м.

Хорда и теорема Пифагора
Хорда и теорема Пифагора
ПРИМЕР 4
Касательная и радиус

Условие:
Прямая касается окружности в точке K. Точка O - центр окружности. Отрезок OB выходит из центра наружу, причём расстояние от центра до точки B равно 17. Найди длину отрезка касательной KB, если радиус окружности равен 8.

ПРИМЕР 5
Вписанный четырёхугольник

Условие:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠A=75∘ и ∠B=110∘. Найди угол C.

Решение:

По Факту 4 сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180∘. Угол A и угол C - противоположные, поэтому

∠C=180∘−∠A=180∘−75∘=105∘

Угол B=110∘ в этой задаче избыточный - он просто подтверждает, что четырёхугольник корректно задан (тогда ∠D=70∘).

Ответ: 105

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Забыть умножить половину хорды на два

Ошибка: В задаче с хордой (как в Примере 3) находят по теореме Пифагора катет AH=12 и сразу записывают это в ответ.

Правильно: Треугольник даёт только половину хорды. Обязательно умножай найденный катет на 2, чтобы получить полную длину хорды.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница с прямым углом у касательной

Ошибка: Считать, что прямой угол находится не у точки касания, а где-то в другом месте, и из-за этого неправильно применять теорему Пифагора (перепутать катет и гипотенузу).

Правильно: Прямой угол ВСЕГДА находится между касательной и радиусом. Вершина прямого угла - это точка на самой окружности, где касательная касается круга.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Складывать соседние углы вписанного четырёхугольника

Ошибка: В задаче с вписанным четырёхугольником пытаются применить ∠A+∠B=180∘.

Правильно: Правило 180∘ работает только для противоположных углов: A с C, B с D. Соседние углы в общем случае не дают 180∘.

✓СОВЕТ
Циферблат и центральные углы

Циферблат часов - естественная модель центральных углов. Полный круг 360∘ разбит на 12 часовых меток, поэтому между двумя соседними метками центральный угол равен 30∘. Между 12 и 3 - это 90∘, между 12 и 6 - 180∘. Задачи про "на сколько градусов повернётся минутная стрелка за 15 минут" сводятся к этой же схеме: полный оборот - 360∘, а 15 минут - это четверть, то есть 90∘.

Что запомнить

  • Радиусы равны. Везде, где от центра проведена линия к окружности, подписывай одинаковую длину.

  • Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

  • Касательная образует прямой угол с радиусом, проведённым в точку касания. Это верный путь к теореме Пифагора.

  • Расстояние от центра до хорды делит её пополам и образует прямоугольный треугольник с радиусом.

  • Вписанный четырёхугольник: ∠A+∠C=180∘, ∠B+∠D=180∘.

  • Пересекающиеся хорды: произведения их отрезков равны - AM⋅MB=CM⋅MD.

✓СОВЕТ
Стратегия

  • Время выполнения: 5-8 минут.

  • Приоритет: Геометрия первой части (задания 9-13) решается в базовом ЕГЭ довольно быстро, если нарисовать крупный и понятный чертёж. Решай в общем порядке.

  • Быстрая проверка: Посмотри на свой ответ и на числа в условии. Хорда не может быть больше двух радиусов (диаметра). Катет не может быть длиннее гипотенузы. Если числа выходят за эти рамки - пересчитай Пифагора.

Проверь себя0 из 4
1.Центральный угол окружности равен 80∘. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
2.Радиус окружности равен 10, расстояние от центра до хорды равно 6. Чему равна длина хорды?
3.Прямая касается окружности в точке K, O - центр. Чему равен угол между радиусом OK и касательной?
4.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠B=100∘. Чему равен ∠D?