Окружность — ЕГЭ база

Окружность (Задание 10)

Задание 10 базового ЕГЭ часто строят вокруг окружности: колесо со спицами, циферблат часов, круглый пруд, монета, пицца, круглый столик в кафе. Внутри одной темы встречаются три разных сюжета: деление круга на равные части, длина окружности и площадь круга. В этом конспекте разберём все три.

Суть темы

Окружность - это замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью (то есть "внутренность" плюс сама линия). В задачах базы тебе понадобятся несколько базовых величин.

Радиус $R$ - отрезок от центра до любой точки окружности.
Диаметр $D = 2 R$ - отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности.
Хорда - любой отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр - самая длинная хорда.
Дуга - часть окружности между двумя её точками.
Сектор - часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой (как кусок пиццы).
Полный круг содержит ровно $36 0^{\circ} .$

Потяни точку P: центр O остаётся на месте, а радиус (пунктир) меняется вместе с окружностью — окружность задаётся центром и радиусом.

Основные формулы

Для задач базового ЕГЭ хватит четырёх формул. Все они встречаются в справочных материалах к экзамену.

ВАЖНОЕ

Длина окружности

C = 2 π R = π D

$C$ - длина окружности (периметр круга), $R$ - радиус, $D$ - диаметр. В задачах базы обычно пишут "считайте $π \approx 3$ " или $π \approx 3, 14 .$

ВАЖНОЕ

Площадь круга

S = π R^{2}

$S$ - площадь круга, $R$ - радиус. Если дан диаметр, сначала раздели пополам: $R = \frac{D}{2} .$

ВАЖНОЕ

Длина дуги

l = \frac{π R α}{180}

$l$ - длина дуги, $R$ - радиус, $α$ - центральный угол дуги в градусах. Формулу легко запомнить: вся окружность $2 π R$ соответствует $36 0^{\circ},$ а дуга занимает долю $\frac{α}{360}$ от полного круга.

ВАЖНОЕ

Угол между соседними спицами

α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

$n$ - количество спиц (или равных секторов). Обратная формула: $n = \frac{36 0 ^{\circ}}{α} .$

✓СОВЕТ

Связь формул

Заметь: длина дуги - это доля длины окружности. Площадь сектора с углом $α$ - доля площади круга: $S_{сект} = π R^{2} \cdot \frac{α}{360} .$ Если помнишь $C = 2 π R$ и $S = π R^{2},$ остальные формулы выводятся "в уме" через долю $\frac{α}{360} .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подойти к задаче про окружность

1. Определи сюжет. Что ищем: угол между спицами, длину окружности, площадь круга или длину дуги?
2. Выпиши "дано". Что известно: радиус, диаметр, количество спиц, угол? Если дан диаметр, а в формуле нужен радиус - раздели пополам.
3. Подставь значение $π .$ В условии обычно указано, какое приближение взять: $π = 3,$ $π \approx 3, 14$ или точное $π .$
4. Посчитай и проверь порядок. Для круга диаметром $1$ метр длина окружности примерно $3$ метра, площадь - примерно $0, 75$ м². Если получилось $300$ или $0, 007$ - ищи ошибку в единицах или формуле.

Примеры решения

Три примера от простого к сложному: деление круга, длина окружности, площадь круга с геометрическим довеском.

ПРИМЕР 1

Штурвал и рулевые ручки

Условие:
У штурвала катера $5$ одинаковых рулевых ручек, расположенных по окружности через равные углы. Найди величину угла (в градусах), который образуют две соседние ручки.

Окружность (штурвал) с центром O и пятью ручками-радиусами,

Решение:

1. Полный круг - $36 0^{\circ},$ ручек $n = 5 .$
2. Угол между соседними ручками:

α = \frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}

Ответ: $72$

ПРИМЕР 2

Круглый пруд

Условие:
Пруд имеет форму круга радиуса $7$ м. Вокруг пруда проложили дорожку так, что её внешний край проходит по окружности того же радиуса. Найди длину дорожки (в метрах). Считай $π = 3 .$

ПРИМЕР 3

Кусок пиццы

Условие:
Круглую пиццу диаметром $30$ см разрезали по радиусам на $6$ одинаковых кусков. Найди площадь одного куска (в квадратных сантиметрах). Считай $π = 3 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали радиус и диаметр

Ошибка: В условии дан диаметр $D = 10,$ а в формулу $S = π R^{2}$ подставили $10$ вместо $5 .$ Получили площадь в $4$ раза больше настоящей.

Правильно: Перед подстановкой всегда задай себе вопрос: "Мне дан радиус или диаметр?" Если диаметр - раздели пополам: $R = \frac{D}{2} .$ Для $D = 10 :$ $R = 5,$ $S = π \cdot 25 = 75$ (при $π = 3$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Правило заборов и столбов для спиц

Ошибка: Если спиц $10,$ считают, что промежутков между ними $9$ (как между столбами в прямом ряду), и делят $360$ на $9 .$ Выходит неправильный ответ $4 0^{\circ} .$

Правильно: Окружность замкнута. Сколько спиц - столько и углов между соседними. Для $10$ спиц: $\frac{360}{10} = 3 6^{\circ} .$ Для $25$ спиц: $\frac{360}{25} = 14, 4^{\circ} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли приближение

π

Ошибка: Условие требует взять $π = 3,$ но школьник считает с $π \approx 3, 14$ и получает "некрасивый" ответ вроде $21, 98 .$

Правильно: Читай условие внимательно. Если написано "считайте $π = 3$ " - подставляй ровно $3 .$ Ответ в базе всегда аккуратный: целое или простая десятичная дробь.

Что запомнить

Длина окружности: $C = 2 π R = π D .$
Площадь круга: $S = π R^{2} .$
Длина дуги с центральным углом $α :$ $l = \frac{π R α}{180} .$
Угол между спицами при $n$ равных секторах: $α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n} .$
Количество спиц равно количеству промежутков между ними (круг замкнут).
Диаметр вдвое больше радиуса: $D = 2 R .$ Проверь это перед подстановкой.
В базе обычно $π = 3$ (реже $3, 14$ ). Смотри на условие.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 3-5 минут на типовую задачу про окружность. Это одна из самых быстрых задач по геометрии.
Приоритет: Решай в первом круге - верный балл.
Порядок действий: сначала выпиши формулу, потом подставь числа, потом считай. Так меньше шансов перепутать $R$ и $D .$
Быстрая проверка для спиц: умножь полученный угол на количество спиц - должно получиться $360 .$ Например, $25 \cdot 14, 4 = 360$ - значит, всё верно.
Быстрая проверка для длины/площади: грубо прикинь с $π \approx 3 .$ Если ответ отличается в $10$ раз - ищи ошибку в единицах (см/м) или в переходе $D \to R .$

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна длина окружности радиуса

R ?

2.Колесо имеет

12

спиц, расположенных через равные углы. Чему равен угол между соседними спицами?

3.Круг имеет диаметр

8 .

Чему равна его площадь при

π = 3 ?

4.Пруд имеет форму круга радиуса

10

м. Какова длина его береговой линии при

π = 3 ?