Округление с избытком — ЕГЭ база

Округление с избытком (Задание 1)

Задание 1 базового ЕГЭ проверяет умение применять математику в реальной жизни. Один из самых частых сюжетов здесь - задачи на округление с избытком. Они встречаются, когда нужно посчитать, сколько автобусов заказать для экскурсии, сколько пачек лекарства купить на курс или сколько рулонов обоев понадобится для ремонта.

Суть темы

В математике мы привыкли к стандартным правилам округления: если после запятой стоит цифра от $0$ до $4,$ мы округляем в меньшую сторону (например, $4, 2 \approx 4$ ). Если от $5$ до $9$ - в большую ( $4, 7 \approx 5$ ).

Но в бытовых задачах математические правила не всегда работают.

Представь, что нужно перевезти $41$ человека, а в один микроавтобус помещается $20$ пассажиров. Делим $41$ на $20,$ получаем $2, 05 .$ По правилам математики $2, 05$ округляется до $2 .$ Но если заказать $2$ микроавтобуса, в них уедут только $40$ человек. Один человек останется на остановке! Значит, нужен ещё один автобус, пусть и почти пустой. Правильный ответ: $3 .$

Схема к мотивирующему примеру про микроавтобусы

Этот принцип называется округлением с избытком (в бóльшую сторону).

Ключевые факты

Для решения таких задач достаточно понимать простой жизненный принцип и знать математическую запись.

ВАЖНОЕ

Округление с избытком (потолок)

Пусть $N$ - общее количество объектов, $k$ - вместимость одной единицы. Тогда нужное количество единиц:

Ответ = ⌈ \frac{N}{k} ⌉

Скобки $⌈ ⌉$ обозначают округление до ближайшего целого в большую сторону: $⌈ 2, 05 ⌉ = 3,$ $⌈ 4 ⌉ = 4 .$

ВАЖНОЕ

Через деление с остатком

Раздели $N$ на $k$ с остатком: $N = k \cdot q + r,$ где $0 ⩽ r < k .$

Если $r = 0,$ то ответ равен $q .$
Если $r > 0,$ то ответ равен $q + 1 .$

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в числах и не потерять важные данные из условия, действуй по шагам.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на округление

1. Найди общее количество. Внимательно прочитай условие: иногда нужно сложить несколько групп (например, детей и сопровождающих, или пассажиров и команду корабля).
2. Найди вместимость одной единицы. Сколько человек влезает в автобус? Сколько таблеток в одной пачке?
3. Раздели общее количество на вместимость. Сделай это уголком или просто прикинь в уме ближайшее число.
4. Округли результат. Если есть любой остаток - округляй в бóльшую сторону. Если разделилось нацело - оставляй как есть.
5. Сделай проверку обратным действием. Умножь полученный ответ на вместимость и убедись, что этого хватит на всех.

Примеры решения

Разберём три ситуации: от самой простой до задачи с небольшим подвохом.

ПРИМЕР 1

Покупка лекарств

Условие:
Врач прописал пациенту принимать по $3$ таблетки в день в течение $14$ дней. В одной упаковке продаётся $20$ таблеток. Какое наименьшее количество упаковок нужно купить на весь курс лечения?

Решение:

1. Посчитаем, сколько всего таблеток понадобится пациенту:

3 \cdot 14 = 42 таблетки

2. Разделим общее число таблеток на количество в одной упаковке:

\frac{42}{20} = 2, 1 упаковки

3. Мы не можем купить $2, 1$ пачки. Если купить $2$ пачки, в них будет $40$ таблеток, а нужно $42 .$ Значит, придётся покупать $3$ упаковки (оставшиеся таблетки просто не понадобятся).

Ответ: $3$

ПРИМЕР 2

Коробки для переезда

Условие:
При переезде в новый офис нужно упаковать $175$ книг. В одну картонную коробку помещается не более $18$ книг. Какое наименьшее число коробок нужно купить, чтобы упаковать все книги?

ПРИМЕР 3

Ловушка идеального деления

Условие:
Для проведения конференции организаторам нужно купить $60$ бутылок питьевой воды. Вода продаётся упаковками по $12$ бутылок. Какое наименьшее количество упаковок нужно купить?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Округление по правилам математики

Ошибка: Получив при делении $4, 1,$ ученик округляет число до $4,$ потому что «единица меньше пятёрки».

Правильно: В таких задачах всегда включай здравый смысл. Задай себе вопрос: «Хватит ли мне $4$ пачек/автобусов/рулонов?». Если умножить $4$ на размер пачки, получится число, которое меньше необходимого. Всегда округляй в большую сторону, если есть остаток.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли сложить группы

Ошибка: В задачах на перевозку делят на автобусы только количество детей, забывая про воспитателей (или делят только пассажиров корабля, забывая про членов команды).

Правильно: Всегда сначала ищи ОБЩЕЕ число объектов или людей, и только потом применяй деление.

Что запомнить

Главный вопрос темы: «Хватит ли этого, чтобы покрыть все потребности?».
Математические правила округления здесь уступают место логике: $2, 01$ пачки в реальности превращаются в $3$ пачки.
Если числа разделились без остатка - просто записывай результат в ответ, прибавлять единицу не надо.
Лучший способ убедиться в правильности ответа - умножить найденное количество на вместимость. Полученное число должно быть равно исходному или быть чуть больше него.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: около $7$ минут.
Приоритет: Это одно из самых простых заданий варианта. Решай его сразу, чтобы размять голову и получить уверенный балл.
Слова-маркеры: «наименьшее количество», «сколько понадобится», «чтобы хватило» - однозначный сигнал округлять в бóльшую сторону.
Проверка: Обязательно делай обратную проверку умножением. Это занимает $10$ секунд, но гарантированно спасает от досадной потери балла на ровном месте.

Проверь себя0 из 4

1.В лифт помещается не более

5

человек. Какое наименьшее число поездок нужно, чтобы поднять

23

человека?

2.При делении общего количества на вместимость получился остаток

r > 0 .

Что делать с неполным частным

q ?

3.Нужно купить

60

бутылок воды, в упаковке

12

бутылок. Сколько упаковок купить?

4.Чему равно

⌈ \frac{100}{30} ⌉ ?