Объем составного многогранника — ЕГЭ база

Объём составного многогранника (Задание 11)

Задание 11 в базовом ЕГЭ проверяет пространственное мышление. Одна из его частых разновидностей - поиск объёма сложной детали, постамента со ступенькой, шкафа с выступом или бассейна хитрой формы. В этом конспекте разберём, как быстро и без ошибок считать объёмы таких фигур.

Суть темы

Составной многогранник - это сложное трёхмерное тело, собранное из нескольких простых. Представь ступенчатый постамент под бюст, шкаф с выемкой под стол или деталь станка: у всех у них каждая грань либо прямоугольная, либо состоит из прямых участков.

Чтобы найти объём такой фигуры, не нужно учить новые сложные формулы. Достаточно одного из двух приёмов:

разрезать фигуру на простые "кирпичики" и сложить их объёмы;
мысленно достроить фигуру до одного большого параллелепипеда и вычесть объём "пустоты".

Основные формулы

Вся тема держится на одной главной формуле и двух подходах к разбиению фигуры.

ВАЖНОЕ

Объём прямоугольного параллелепипеда

V = a \cdot b \cdot c

где $a,$ $b,$ $c$ — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины (длина, ширина, высота).

ВАЖНОЕ

Свойство аддитивности (сложение объёмов)

Если деталь разрезать на непересекающиеся части, её объём равен сумме объёмов частей:

V_{сост} = V_{1} + V_{2}

ВАЖНОЕ

Объём фигуры с вырезом (вычитание)

Если из большого тела вырезали кусок, объём остатка равен разности:

V_{с вырезом} = V_{большого} - V_{выреза}

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как найти объём сложной детали

1. Выбери метод. Посмотри на чертёж: что удобнее - разрезать деталь на два-три простых параллелепипеда или достроить её до одного большого и выпилить "пустоту"?
2. Найди размеры каждой части. Длина одного ребра часто не подписана напрямую. Её находят, вычитая известные отрезки из общей длины: например, если общая длина детали $7,$ а верхняя часть имеет длину $3,$ то нижняя — $7 - 3 = 4 .$
3. Вычисли объёмы. Применяй $V = a \cdot b \cdot c$ к каждому "кирпичику" отдельно. Не перемножай все числа подряд с чертежа!
4. Сложи или вычти. Последнее действие — в соответствии с выбранным методом.

Примеры решения

Разберём две типичные задачи: на метод сложения и на метод вычитания. Третий пример — ЕГЭ-уровень.

ПРИМЕР 1

Шкаф со ступенькой (метод сложения)

Условие:
Дизайнерский стеллаж имеет форму составного многогранника. Он собран из двух прямоугольных секций, все углы прямые. Нижняя секция — параллелепипед $80 \times 40 \times 60$ (см). Верхняя секция стоит на нижней, имеет ту же глубину $40$ см, ширину $30$ см и высоту $100$ см. Найди объём стеллажа в кубических сантиметрах, а затем в кубических дециметрах.

Стеллаж в форме ступеньки с пунктирной линией разреза

Решение:
Деталь естественно делится пунктирной линией разреза на два параллелепипеда.

1. Объём нижней секции:

V_{1} = 80 \cdot 40 \cdot 60 = 192000

2. Объём верхней секции:

V_{2} = 30 \cdot 40 \cdot 100 = 120000

3. Сумма:

V = V_{1} + V_{2} = 192000 + 120000 = 312000 см^{3}

В кубических дециметрах: $1$ дм $^{3} = 1000$ см $^{3},$ поэтому $V = 312$ дм $^{3} .$

Ответ: $312000$ см $^{3},$ или $312$ дм $^{3} .$

ПРИМЕР 2

Постамент с выемкой (метод вычитания)

Условие:
Постамент для скульптуры имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $120 \times 80 \times 90$ (см). В верхней грани по центру выбрана сквозная прямоугольная ниша шириной $40,$ длиной $80$ и глубиной $30$ см (ниша проходит насквозь по глубине постамента). Найди объём материала постамента в кубических сантиметрах.

ПРИМЕР 3

Бассейн со ступенькой для мелководья

Условие:
Бассейн имеет форму составного многогранника: это прямоугольный "котлован" размером $10 \times 4$ м в плане, глубина которого в детской зоне (ширина $4$ м, длина $3$ м) равна $1$ м, а во взрослой зоне (ширина $4$ м, длина $7$ м) — $2$ м. Сколько кубических метров воды входит в такой бассейн, если заполнить его доверху?

Аксонометрический (изометрический) чертёж чаши бассейна со с

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перемножение всех чисел с чертежа

Ошибка: На чертеже детали указаны числа $5, 3, 2, 4, 6 .$ Ученик просто перемножает их все и получает гигантское число вроде $720 .$

Правильно: В формуле $V = a \cdot b \cdot c$ участвуют только три измерения одного конкретного "кирпичика". Обязательно раздели фигуру на блоки и считай объём каждого отдельно, а потом складывай или вычитай.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильный подсчёт "недостающего" ребра

Ошибка: У ступенчатой детали общая длина $10,$ длина верхней части $3 .$ Ученик пишет длину нижней равной $10,$ забывая, что нижняя часть сдвинута и имеет длину $10 - 3 = 7 .$

Правильно: Прежде чем подставлять в формулу, выпиши размеры каждого "кирпичика" отдельно. Если ребро не подписано — найди его, вычитая известные отрезки из общей длины детали. На чертеже проверь стрелочками, от чего до чего идёт измерение.

Плоский вид сбоку ступенчатой Г-образной детали (две ступени

Что запомнить

Любую "ступенчатую" деталь можно разрезать на обычные параллелепипеды-кирпичики.
Если у детали есть сквозной вырез или ниша, часто быстрее посчитать объём "целого куска" и вычесть объём пустоты.
Если ребро на чертеже не подписано, его находят вычитанием известных отрезков из общей длины.
Чтобы не запутаться, подпиши прямо на чертеже размеры каждого блока и его объём.

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 7-10 минут.
Приоритет: Отличная задача для первой волны — решение короткое, арифметика простая.
Совет: Прямо в КИМе проведи ручкой линию разреза детали, заштрихуй один блок и подпиши рядом его объём, затем второй. Так визуально не перепутаешь, какое ребро к какой части относится.
Самопроверка: Если получается "некрасивое" число (например, не делится нацело на десятки), вернись к чертежу: вероятно, "недостающее" ребро найдено неверно.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

a,

b,

c ?

2.Деталь разрезали на две непересекающиеся части с объёмами

V_{1}

V_{2} .

Чему равен объём детали?

3.У ступенчатой детали общая длина

10,

длина верхней части

3 .

Какова длина нижней части?

4.Из параллелепипеда

5 \times 4 \times 3

вырезали кусок объёмом

12 .

Каков объём остатка?