Многоугольники — ЕГЭ база

Многоугольники (Задание 12)

Многоугольники в задании 12 - это паркет на полу, плитка на дорожке, клумба из шестигранных камней, ключ под шестигранную гайку или огородная грядка с вершинами в узлах сетки. Банк задач делит эту тему на три крупных сюжета: углы в правильных многоугольниках, площади через разбиение на треугольники и площадь на клетчатой бумаге через формулу Пика.

Суть темы

Многоугольник - плоская фигура, границей которой служит замкнутая ломаная без самопересечений. Отрезки называют сторонами, точки излома - вершинами. Количество сторон (и вершин) обозначают буквой $n .$

В базе отдельное место занимает правильный многоугольник - у него все стороны равны и все углы равны. Такой многоугольник всегда можно вписать в окружность (радиус $R$ ) и в него же можно вписать окружность (радиус $r$ ). Соединив вершины с центром, получаем $n$ одинаковых равнобедренных треугольников, похожих на куски пиццы.

Правильный шестиугольник с двумя окружностями

Основные формулы

Для задания 12 на базе нужны три группы формул: углы, площади и формула Пика.

ВАЖНОЕ

Сумма внутренних углов n-угольника

Σ = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2)

Работает для любого выпуклого $n$ -угольника. Доказывается разбиением на $(n - 2)$ треугольника из одной вершины - у каждого треугольника сумма углов $18 0^{\circ} .$

ВАЖНОЕ

Один угол правильного многоугольника

β = \frac{18 0 ^{\circ} \cdot ( n - 2 )}{n}, α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

$β$ - внутренний угол (в вершине), $α$ - центральный угол (между соседними радиусами $O A$ и $O B$ ). В сумме $β$ и смежный с ним внешний угол дают $18 0^{\circ} .$

ВАЖНОЕ

Площадь правильного n-угольника через радиусы

S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot n \cdot R^{2} \cdot sin α

где $P$ - периметр, $r$ - радиус вписанной окружности, $R$ - радиус описанной окружности, $α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ - центральный угол. Первая форма - это $n$ одинаковых треугольников с основанием-стороной и высотой $r .$

ВАЖНОЕ

Формула Пика для клетчатой бумаги

S = В + \frac{Г}{2} - 1

где $В$ - число узлов сетки внутри многоугольника, $Г$ - число узлов на границе (включая вершины). Формула работает для любого многоугольника без самопересечений, у которого все вершины лежат в узлах сетки.

Многоугольник на клетчатой сетке с разметкой узлов

✓СОВЕТ

Как запомнить Пика

"Внутренние целые, граничные по половинке, минус один за замыкание". Вершины многоугольника тоже считаются граничными узлами - не пропусти их при подсчёте $Г .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подойти к задаче про многоугольник

1. Определи сюжет. Задачу про многоугольник обычно распознаёшь по ключевым словам. "Спицы колеса", "угол между соседними радиусами", "сумма углов фундамента" - задача на углы. "Площадь паркетной плитки", "клумба из правильного шестиугольника" - площадь через радиусы или разбиение. "Фигура на клетчатой бумаге", "вершины в узлах сетки" - формула Пика.
2. Выпиши $n .$ Подсчитай количество сторон, вершин, спиц, кабинок - что бы ни упоминалось. В замкнутом круге количество объектов равно количеству промежутков между ними.
3. Выбери формулу. Для углов - из блока про сумму или центральный угол. Для площади - через радиус или через разбиение на треугольники. Для сетки - формула Пика.
4. Проверь здравым смыслом. В базе все ответы - целые числа или простые десятичные дроби. Если получается $\frac{125}{3}$ или $7,$ скорее всего, в подсчёте ошибка или выбрана не та формула.

Примеры решения

Три задачи от простой к сложной: угол, площадь через разбиение и формула Пика.

ПРИМЕР 1

Беседка в парке

Условие:
В парке строят беседку с полом в форме правильного восьмиугольника. Найди величину одного внутреннего угла такого пола. Ответ дай в градусах.

Решение:

Нам дан правильный $n$ -угольник с $n = 8 .$

1. Сумма всех внутренних углов:

Σ = 18 0^{\circ} \cdot (8 - 2) = 18 0^{\circ} \cdot 6 = 108 0^{\circ}

2. Все $8$ углов равны, поэтому один из них:

β = \frac{108 0 ^{\circ}}{8} = 13 5^{\circ}

Ответ: $135$

ПРИМЕР 2

Клумба из шести треугольников

Условие:
Клумба имеет форму правильного шестиугольника со стороной $3$ м. Её разбили на $6$ одинаковых равносторонних треугольников линиями от центра к вершинам. Известно, что площадь одного равностороннего треугольника со стороной $3$ м равна $\frac{9 3}{4}$ м². Найди площадь всей клумбы. Ответ дай в квадратных метрах, при необходимости округли до десятых. В ответе прими $3 \approx 1, 73 .$

Шестиугольная клумба, разбитая на 6 треугольников

ПРИМЕР 3

Огород по клеточкам

Условие:
На клетчатой бумаге со стороной клетки $1$ м изображён огород в форме многоугольника. Все вершины - в узлах сетки. Внутри многоугольника насчитали $14$ узлов, а на его границе (включая вершины) - $10$ узлов. Найди площадь огорода в квадратных метрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между внутренним и центральным углом

Ошибка: В задаче просят внутренний угол правильного десятиугольника, а в ответ идёт

\frac{36 0 ^{\circ}}{10} = 3 6^{\circ} .

Правильно: $3 6^{\circ}$ - это центральный угол (угол между двумя радиусами из центра). Внутренний угол (в вершине самого многоугольника) у правильного десятиугольника - $\frac{18 0 ^{\circ} \cdot 8}{10} = 14 4^{\circ} .$ Проверка связи: внутренний $+$ центральный $= 18 0^{\circ},$ то есть $14 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 18 0^{\circ} .$ Всегда смотри, про какой угол спрашивают.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

В формуле Пика забыли граничные узлы на сторонах

Ошибка: Считают только вершины многоугольника как граничные, пропуская узлы сетки, которые лежат на сторонах между вершинами.

Правильно: $Г$ - это все узлы сетки на границе, включая те, что лежат посередине сторон. Если сторона идёт от $(0; 0)$ до $(4; 0),$ на ней $5$ узлов (считая оба конца). При соединении сторон конечный узел учитывается один раз, без двойного счёта.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Промежутки и объекты на окружности

Ошибка: Для колеса с $12$ спицами делят $36 0^{\circ}$ на $11,$ рассуждая по аналогии с линейным забором.

Правильно: На прямой промежутков на $1$ меньше, чем объектов. В замкнутой окружности промежутков столько же, сколько объектов: $12$ спиц образуют ровно $12$ секторов. Делим на $12,$ получаем $3 0^{\circ} .$

Что запомнить

Сумма внутренних углов: $18 0^{\circ} (n - 2) .$ В правильном - делим на $n .$
Центральный угол: $\frac{36 0 ^{\circ}}{n} .$ Внутренний и центральный дают в сумме $18 0^{\circ} .$
Правильный $n$ -угольник разбивается на $n$ одинаковых треугольников из центра. Площадь целого - в $n$ раз больше одного.
Для фигуры в узлах сетки: $S = В + \frac{Г}{2} - 1 .$ Граничные узлы учитываются все, не только вершины.
В базе ответ всегда целый или простая десятичная дробь. Некрасивая дробь в ответе - сигнал вернуться и перепроверить.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: $6$ - $8$ минут. Типовая задача решается в одно-два действия.
Приоритет: решай в первом проходе - геометрия такого уровня даёт гарантированный балл за минуту устного счёта.
Чертёж: для клумбы, паркета или ключа гайки набросай эскиз от руки. Для клетчатой задачи пересчитай узлы дважды - внутренние и граничные отдельно, это самая частая потеря балла.
Проверка: подставь ответ обратно. Если нашёл внутренний угол $β,$ центральный равен $18 0^{\circ} - β$ - проверь, что получается $\frac{36 0 ^{\circ}}{n} .$

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника?

2.Чему равен центральный угол правильного двенадцатиугольника?

3.Внутри многоугольника с вершинами в узлах сетки 7 узлов, на границе 8 узлов. Какова его площадь по формуле Пика?

4.Правильный шестиугольник разбит отрезками из центра к вершинам. Сколько получилось треугольников и какие они?