Логарифмические уравнения — ЕГЭ база

Логарифмические уравнения (Задание 17)

Задание 17 в базовом ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Один из самых частых сюжетов этого номера - логарифмические уравнения. Многих пугает само слово «логарифм», но на базовом уровне все задачи сводятся к двум-трём простым правилам и не требуют глубоких познаний в высшей математике.

Логарифмы окружают тебя чаще, чем кажется: громкость звука в децибелах, кислотность среды в единицах pH, магнитуда землетрясений по шкале Рихтера - всё это логарифмические величины. Когда воздействие растёт в 10 раз, такая шкала прибавляет всего одну единицу. На ЕГЭ же задачи технические: найти $x$ из уравнения с логарифмом.

Суть темы

Логарифм - это просто действие, обратное возведению в степень.
Запись $lo g_{a} b = c$ отвечает на один вопрос: «в какую степень нужно возвести число $a$ (основание), чтобы получить число $b$ (аргумент)?»

Например, $lo g_{2} 8 = 3,$ потому что $2^{3} = 8 .$

Логарифмическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная $x$ прячется внутри логарифма (находится на месте аргумента). Чтобы добраться до $x,$ логарифм нужно «раскрыть» или «отбросить».

Потяни ползунок a: график y = log_a(x) всегда проходит через точку (1; 0).

Основные формулы

Для решения всех задач базового ЕГЭ по этой теме достаточно знать определение логарифма и два его свойства.

ВАЖНОЕ

Определение логарифма

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Это главный инструмент. С его помощью уравнение с логарифмом превращается в обычное линейное уравнение.

Если в уравнении несколько логарифмов, их нужно объединить. Для этого работают свойства сложения и вычитания (основания логарифмов при этом должны быть одинаковыми!):

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения:

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

Разность логарифмов превращается в логарифм частного:

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})

Алгоритм решения

У логарифма есть жёсткое ограничение: аргумент (то, что стоит под знаком $lo g$ ) обязан быть строго положительным. Это и есть ОДЗ - область допустимых значений. В профильной математике ОДЗ выписывают заранее системой неравенств, но в базе надёжнее и быстрее поступить иначе: решить уравнение, а затем подстановкой проверить, не обращает ли найденный корень аргумент логарифма в ноль или отрицательное число.

АЛГОРИТМ

Как решать логарифмические уравнения

1. Упрости выражение (если нужно). Если в левой или правой части стоит сумма или разность логарифмов, примени свойства и сверни их в один логарифм.
2. Избавься от логарифмов.

Если уравнение имеет вид $lo g_{a} (выражение) = число,$ примени определение: $выражение = a^{число} .$
Если уравнение имеет вид $lo g_{a} (выражение 1) = lo g_{a} (выражение 2),$ просто отбрось логарифмы: $выражение 1 = выражение 2 .$
3. Реши полученное простое уравнение. Чаще всего оно будет линейным, где нужно перенести $x$ в одну сторону, а числа - в другую.
4. Проверь ОДЗ подстановкой. Подставь найденный $x$ в исходное уравнение и посмотри на аргументы всех логарифмов. Если хотя бы один стал отрицательным или нулём - корень посторонний, в ответ не идёт. Если все аргументы положительные - можно записывать ответ.

Примеры решения

Разберём три задачи от самых простых к тем, где нужно применять свойства.

ПРИМЕР 1

Уравнение по определению

Найди корень уравнения $lo g_{5} (3 x - 2) = 2 .$

Решение:
Перед нами классическое уравнение вида $lo g_{a} b = c .$ Применим определение логарифма (правило круга): основание $5$ в степени $2$ даёт то, что внутри скобок.

1. Запишем это математически:

3 x - 2 = 5^{2}

2. Возведём пятёрку в квадрат:

3 x - 2 = 25

3. Перенесём число $- 2$ вправо с противоположным знаком:

3 x = 25 + 2

3 x = 27

4. Разделим обе части на $3 :$

x = 9

Проверка: подставим $x = 9$ в условие. $3 \cdot 9 - 2 = 27 - 2 = 25 .$ $lo g_{5} 25 = 2 .$ Всё верно, $5^{2} = 25 .$

Ответ: $9$

ПРИМЕР 2

Сумма логарифмов

Найди корень уравнения $lo g_{3} (x + 4) + lo g_{3} 2 = lo g_{3} 20 .$

ПРИМЕР 3

Десятичный логарифм и разность

Найди корень уравнения $l g (4 x - 1) - l g 2 = l g 6 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

ОДЗ: аргумент логарифма строго больше нуля

Ошибка: Найти корень и записать в ответ, не проверив, что стоит внутри логарифма. Если после подстановки под знаком логарифма получается $0$ или отрицательное число - корень посторонний, его нужно отбросить.

Пример: В уравнении $lo g_{3} (x - 4) = lo g_{3} (2 x - 9)$ отбрасывание логарифмов даёт $x - 4 = 2 x - 9,$ откуда $x = 5 .$ Проверяем: $x - 4 = 1 > 0,$ $2 x - 9 = 1 > 0$ - оба аргумента положительные, корень подходит.

Правильно: после любого решения подставь $x$ в исходное уравнение и убедись, что под каждым логарифмом стоит положительное число. Если где-то получается $⩽ 0$ - корень не идёт в ответ.

Помимо ОДЗ, есть ещё две ловушки, которые съедают баллы чаще всего. Обе связаны с путаницей в том, как именно «работает» логарифм.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение вместо возведения в степень

Ошибка: При решении $lo g_{2} (x - 1) = 3$ основание умножают на результат: $x - 1 = 2 \cdot 3 = 6 .$

Правильно: Логарифм - это про степени! Нужно возводить основание в степень: $x - 1 = 2^{3} = 8 .$ Отсюда $x = 9 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение аргументов вместо умножения

Ошибка: Видя сумму логарифмов $lo g_{a} x + lo g_{a} y,$ складывают их "начинки" и получают $lo g_{a} (x + y) .$

Правильно: Сумма логарифмов всегда превращается в логарифм произведения: $lo g_{a} (x \cdot y) .$

Что запомнить

Избавляемся от логарифма с помощью "правила круга": $lo g_{a} b = c ⟹ a^{c} = b .$
Если $lo g$ складываются - аргументы перемножаем.
Если $lo g$ вычитаются - аргументы делим.
$l g$ - это логарифм по основанию $10 .$ Относись к нему как к любому другому логарифму.
Аргумент логарифма строго больше нуля - это ОДЗ. Вместо формального выписывания неравенств подставь найденный $x$ в исходное уравнение и убедись, что все аргументы положительные.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут.
Приоритет: Задание 17 решается по чётким алгоритмам. Берись за него сразу, как закончишь с простыми вычислениями и чтением графиков (задания 1-8).
Самопроверка: Логарифмические уравнения - одни из самых "безопасных" на экзамене. Подстановка найденного ответа в первоначальное уравнение даёт 100% гарантию, что балл у тебя в кармане. Обязательно потрать на проверку 30 секунд.
Оформление в бланк: Если получилась обыкновенная дробь (например, $\frac{1}{4}$ ), не забудь перевести её в десятичную ( $0, 25$ ) перед записью в бланк ответов.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен

x

в уравнении

lo g_{2} (x - 1) = 3 ?

2.Как свернуть сумму

lo g_{a} x + lo g_{a} y ?

3.Что означает запись

l g x ?

4.Каким должен быть аргумент логарифма (ОДЗ)?