Линейные, квадратные, кубические уравнения — ЕГЭ база

Линейные, квадратные и кубические уравнения (Задание 17)

Задание 17 проверяет твоё умение находить неизвестную в базовых уравнениях. Уравнения могут выглядеть по-разному, но большинство из них сводится к линейным или квадратным после раскрытия скобок. Кубические уравнения тоже встречаются, но в самом простом виде.

Суть темы

Решить уравнение - значит найти все такие значения $x,$ при подстановке которых левая часть будет в точности равна правой. Если уравнение имеет несколько корней, в тексте задачи обязательно укажут, какой именно корень нужно записать в ответ (например, наименьший или наибольший).

Основные формулы и правила

Часто в задании 17 встречаются скобки в квадрате. Чтобы их раскрыть, не нужно умножать скобку на скобку "фонтанчиком" - используй готовые формулы.

ВАЖНОЕ

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Квадрат разности: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Если после всех преобразований переменная $x$ осталась только в первой степени, уравнение называется линейным. Оно решается переносом всех $x$ в одну сторону, а чисел - в другую.

Если $x$ остался во второй степени ( $x^{2}$ ), уравнение квадратное. Для полного квадратного уравнения нужен дискриминант.

ВАЖНОЕ

Решение квадратного уравнения

Для уравнения вида $a x^{2} + b x + c = 0 :$

1. Дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c$
2. Корни: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$

Когда старший коэффициент $a = 1$ (приведённое уравнение $x^{2} + p x + q = 0$ ), корни можно подобрать устно без дискриминанта.

ВАЖНОЕ

Теорема Виета

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни приведённого уравнения $x^{2} + p x + q = 0,$ то:

x_{1} + x_{2} = - p

x_{1} \cdot x_{2} = q

✓СОВЕТ

Как подобрать корни устно

Для уравнения $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ ищешь два числа, у которых произведение $20,$ а сумма $9 .$ Подходят $4$ и $5 .$ Это и есть корни. Когда числа простые, это быстрее дискриминанта.

Если в квадратном уравнении нет слагаемого с $x$ или нет свободного числа, оно называется неполным. Решать его через дискриминант можно, но долго. Проще использовать другие подходы:

ВАЖНОЕ

Неполные уравнения и степени

Квадрат числа ( $x^{2} = a$ ):
Если $a > 0,$ то корня два: $x_{1} = a$ и $x_{2} = - a .$
(Пример: $x^{2} = 25 ⟹ x = 5$ и $x = - 5$ )

Неполное квадратное ( $a x^{2} + b x = 0$ ):
Вынеси $x$ за скобки: $x (a x + b) = 0 .$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Куб числа ( $x^{3} = a$ ):
У кубического уравнения вида $x^{3} = a$ всегда только один корень, и он сохраняет знак числа.
(Пример: $x^{3} = 8 ⟹ x = 2;$ $x^{3} = - 64 ⟹ x = - 4$ )

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать алгебраические уравнения

1. Раскрой скобки, если они есть, применяя формулы сокращённого умножения.
2. Определи тип уравнения. Если $x$ только в первой степени - оно линейное. Если есть $x^{2}$ - квадратное.
3. Сгруппируй слагаемые.

Для линейного: слагаемые с $x$ влево, числа вправо.
Для квадратного: перенеси всё в одну сторону, чтобы справа остался $0 .$
4. Найди корни.
5. Внимательно прочитай вопрос. Если корней получилось два, проверь, какой из них просят записать в бланк (больший или меньший).

Примеры решения

Разберём четыре задачи, которые покрывают все три типа уравнений из задания 17 — от простого линейного до кубического.

ПРИМЕР 1

Линейное уравнение

Условие:
Реши уравнение $7 x - 12 = 4 x + 9 .$

Решение:

1. Это линейное уравнение: $x$ встречается только в первой степени. Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую. При переносе через знак равенства знаки меняются на противоположные:

7 x - 4 x = 9 + 12

2. Приведём подобные слагаемые:

3 x = 21

3. Разделим обе части на коэффициент при $x :$

x = \frac{21}{3} = 7

Проверка: подставим $7$ в исходное уравнение. Слева: $7 \cdot 7 - 12 = 49 - 12 = 37 .$ Справа: $4 \cdot 7 + 9 = 28 + 9 = 37 .$ Совпадает.

Ответ: $7$

Линейные уравнения часто описывают реальную ситуацию: когда сравняются возрасты двух людей, когда цена товара со скидкой сравняется с ценой в другом магазине, когда догонят друг друга два объекта. Это тот редкий случай в задании 17, где уравнение можно не только формально решить, но и понять "руками".

Потяни ползунок a: там, где парабола пересекает ось X, находятся корни уравнения.

ПРИМЕР 2

Неполное квадратное уравнение

Условие:
Реши уравнение $2 x^{2} + 10 x = 0 .$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажи меньший из них.

Дерево решения уравнения с вынесением множителя

ПРИМЕР 3

Полное квадратное уравнение

Условие:
Реши уравнение $x^{2} - 9 x + 20 = 0 .$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запиши больший из них.

ПРИМЕР 4

Кубическое уравнение

Условие:
Найди корень уравнения $(x - 2)^{3} = 27 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря отрицательного корня

Ошибка: При решении уравнения $x^{2} = 36$ пишут только один корень $x = 6 .$

Правильно: Квадратное уравнение вида $x^{2} = a$ всегда имеет два корня (если $a > 0$ ). Правильный ответ: $x = 6$ и $x = - 6 .$ Обязательно выписывай оба, а затем выбирай нужный по условию задачи.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на переменную

Ошибка: В уравнении $x^{2} = 5 x$ делят обе части на $x$ и получают единственный ответ $x = 5 .$

Правильно: Делить на переменную, которая может быть равна нулю, нельзя - так ты безвозвратно потеряешь один корень. Всегда переноси всё в одну сторону и выноси $x$ за скобки: $x^{2} - 5 x = 0 ⟹ x (x - 5) = 0 .$ Корни: $0$ и $5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путают квадрат и куб

Ошибка: Для уравнения $x^{3} = - 27$ пишут "корней нет" (по аналогии с $x^{2} = - 27$ ) или два ответа $\pm 3$ (по аналогии с $x^{2} = 9$ ).

Правильно: У уравнения $x^{3} = a$ всегда ровно один корень при любом $a$ - кубический корень сохраняет знак числа. $x^{3} = - 27 ⟹ x = - 3 .$ А вот $x^{2} = - 27$ действительно не имеет корней: квадрат любого числа неотрицателен.

Сравнительный чертёж двух графиков на одной панели или двумя

Что запомнить

Следи за степенями: если есть $x^{2}$ и положительный дискриминант, корней будет два. Если уравнение сводится к $x^{3} = a,$ корень ровно один, и он сохраняет знак числа $a .$
Не дели на $x :$ выноси за скобки. Деление на переменную теряет корень $x = 0 .$
Формулы сокращённого умножения: не забывай удвоенное произведение — в выражении $(x - 3)^{2}$ будет $x^{2} - 6 x + 9,$ а не просто $x^{2} + 9 .$
Внимательно читай условие: подчёркивай слова "меньший корень" или "больший корень" перед тем, как записать ответ в бланк.
Числа $a,$ $b,$ $c$ берутся вместе со знаком: в $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ коэффициент $b = - 14,$ а не $14 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут.
Приоритет: Решай это задание одним из первых, оно прямолинейное и не содержит подвохов.
Самопроверка: Получив ответ, всегда подставляй его в самое первое уравнение из условия. На базовом ЕГЭ числа подобраны так, чтобы вычисления были простыми. Проверка займёт 20 секунд, но спасёт балл от обидной арифметической ошибки.

Проверь себя0 из 4

1.Сколько корней у уравнения

x^{2} = 49 ?

2.Реши уравнение

x^{3} = - 8 .

Что в ответе?

3.В уравнении

x^{2} - 5 x = 0

разделили обе части на

x .

Какой корень при этом потеряли?

4.По теореме Виета для

x^{2} - 9 x + 20 = 0

корни — это числа, у которых...