Круглые тела — ЕГЭ база

Круглые тела: цилиндры, конусы и шары (Задание 11)

В задании 11 ЕГЭ-база среди стереометрических задач регулярно попадаются "круглые" тела: цилиндры (бочки, баллоны, трубы, ведра), конусы (воронки, бокалы, кучи песка) и шары (мячи, глобусы, ёлочные шары). Контекст максимально бытовой: посчитать вместимость бочки, покрасить трубу, найти объём футбольного мяча.

Здесь не нужно строить сложные сечения. Главное - знать три формулы объёма, уметь работать с единицами измерения и помнить, как меняется объём при изменении размеров.

Суть темы

Круглые тела называются так, потому что в их основании лежит круг. Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, конус - вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, а шар - вращением полукруга вокруг диаметра.

Основные формулы

На экзамене выдают справочные материалы, где есть большинство этих формул. Но важно уметь их "читать" и быстро применять к бытовым ситуациям. В базовой версии ЕГЭ часто задают подсказку: "считайте $π = 3$ ". Тогда все расчёты становятся простыми.

ВАЖНОЕ

Объём цилиндра

V_{цил} = π R^{2} H

где $R$ - радиус основания, $H$ - высота. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 π R H .$

ВАЖНОЕ

Объём конуса

V_{кон} = \frac{1}{3} π R^{2} H

Объём конуса ровно в $3$ раза меньше объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = π R l,$ где $l$ - образующая.

ВАЖНОЕ

Объём шара

V_{шар} = \frac{4}{3} π R^{3}

Площадь поверхности шара (сферы): $S = 4 π R^{2} .$

✓СОВЕТ

Лайфхак для труб

Выражение $2 π R$ в формуле площади боковой поверхности цилиндра - это длина окружности основания. В задачах её часто называют "внешним обхватом". Тогда

S_{бок} = обхват \cdot высота

и число $π$ знать вообще не нужно.

Алгоритм решения

Задачи на круглые тела обычно решаются в одно-два действия.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на круглые тела

1. Определи фигуру. Бочка, труба, стакан, баллон - цилиндр. Воронка, бокал для мартини, куча песка - конус. Мяч, глобус - шар.
2. Выпиши известные величины. Отдельно посмотри, что дано: радиус или диаметр? Высота или длина? Обхват или площадь?
3. Согласуй единицы. Если длина в метрах, а обхват в сантиметрах - переведи к одной единице до подстановки. Обычно удобнее к той, в которой просят ответ.
4. Выбери формулу. Вместимость, объём жидкости - формула объёма. Краска, обклейка - формула площади поверхности.
5. Посчитай. Если в условии есть "считайте $π = 3$ " - подставь $3$ вместо $π .$ При сравнении подобных тел используй коэффициент подобия $k :$ площади в $k^{2}$ раз, объёмы в $k^{3}$ раз.

Примеры решения

Разберём три типовые задачи: цилиндр по формуле, шар по формуле, сравнение объёмов цилиндра и конуса.

ПРИМЕР 1

Вместимость бочки

Условие:
Дождевая бочка имеет форму цилиндра с радиусом основания $20$ см и высотой $50$ см. Найди объём бочки в литрах, если $1$ литр $= 1000$ см³. Считай $π = 3 .$

Решение:

1. Бочка - цилиндр. Подставляем в формулу объёма:

V = π R^{2} H = 3 \cdot 2 0^{2} \cdot 50

2. Считаем по действиям:

V = 3 \cdot 400 \cdot 50 = 60000 см^{3}

3. Переводим в литры:

V = \frac{60 000}{1000} = 60 литров

Ответ: $60$

ПРИМЕР 2

Объём мяча

Условие:
Радиус футбольного мяча равен $10$ см. Найди его объём в кубических сантиметрах. Считай $π = 3 .$

ПРИМЕР 3

Ведро и воронка

Условие:
Ведро имеет форму цилиндра, воронка - форму конуса. У ведра и воронки одинаковые радиусы оснований и одинаковые высоты. Полное ведро вмещает $12$ литров воды. Сколько литров воды вмещает полная воронка?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали радиус и диаметр

Ошибка: В условии дан диаметр мяча $20$ см, а в формулу подставляют $R = 20$ вместо $R = 10 .$ Получают объём в $8$ раз больше.

Правильно: Радиус - это половина диаметра. Прежде чем подставлять в формулу, проверь: в условии точно радиус, а не диаметр?

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отношение объёмов и высот

Ошибка: Если высота жидкости в конусе в $2$ раза меньше высоты сосуда, считают, что и объём меньше ровно в $2$ раза.

Правильно: Маленький и большой конусы подобны, коэффициент подобия $k$ равен отношению высот. Объём - трёхмерная величина, поэтому он меняется в $k^{3}$ раз. При $k = 2 :$ объём отличается в $2^{3} = 8$ раз, а не в $2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разные единицы у длины и обхвата

Ошибка: В задаче про трубу обхват дан в сантиметрах, а длина - в метрах. Перемножают не переводя и получают бессмысленный ответ.

Правильно: До подстановки переводи всё к одной единице. $1$ м $= 100$ см. Внимательно читай, в каких именно единицах просят ответ.

Что запомнить

Цилиндр: $V = π R^{2} H .$ Конус: $V = \frac{1}{3} π R^{2} H .$ Шар: $V = \frac{4}{3} π R^{3} .$
Конус в $3$ раза меньше цилиндра с тем же основанием и высотой. Это прямое следствие множителя $\frac{1}{3} .$
Труба = цилиндр. Если дан "внешний обхват", то площадь покраски = обхват $\cdot$ длина. Про $π$ забываем.
Подобие. Если все линейные размеры изменились в $k$ раз: площадь меняется в $k^{2}$ раз, объём - в $k^{3}$ раз.
Единицы. $1$ м $= 100$ см, $1$ л $= 1000$ см³. Переводи до подстановки.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-8 минут. Это практическая задача, расчёты здесь обычно простые.
Приоритет: Решай в первой волне. Задачи на бочки, трубы и мячи часто проще абстрактной геометрии с пирамидами и призмами.
$π$ в условии: Если в задаче написано "считайте $π = 3$ " - подставляй $3$ и не трогай символ $π .$ Если указание не дано, но ответ должен быть целым, почти наверняка $π$ "сократится" с дробью в условии или через формулу.
Самопроверка: Прикинь порядок ответа. Бочка высотой полметра не вмещает $1000$ литров, а мяч размером с ладонь не весит тонну. Если число "улетело" - ищи ошибку в единицах или в радиусе/диаметре.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен объём цилиндра с радиусом основания

R

и высотой

H ?

2.Ведро-цилиндр вмещает

9

литров. Сколько вмещает конус с тем же радиусом основания и той же высотой?

3.Радиус шара равен

10

см,

π = 3 .

Чему равен объём шара?

4.Все линейные размеры конуса увеличили в

2

раза. Во сколько раз увеличился его объём?