Конус — ЕГЭ база

Конус (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ по стереометрии встречаются круглые тела: цилиндр, шар и конус. Конус получается, если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Форму конуса имеют рожок для мороженого, бумажный стаканчик, колпак для вечеринки, дорожный конус и кулёк для семечек.

Элементы конуса

У конуса всего три главных измерения, и они связаны между собой. Почти любая задача сводится к поиску одного из них по двум другим.

1. Радиус основания $R$ - радиус круга, который лежит в самом низу.
2. Высота $h$ - кратчайшее расстояние от вершины до центра основания, перпендикулярно основанию.
3. Образующая $l$ - отрезок от вершины до любой точки на окружности основания, "боковой скат" конуса.

Меняйте высоту h и радиус R: образующая l пересчитывается по теореме Пифагора и показана рядом с треугольником.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ нужно уверенно знать три формулы и теорему Пифагора для связи элементов.

ВАЖНОЕ

Объём конуса

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Объём конуса ровно в три раза меньше объёма цилиндра с такими же радиусом и высотой.

ВАЖНОЕ

Площадь боковой поверхности

S_{бок} = π R l

Это площадь только "бумажного колпака", без круглого донышка. В формуле участвует именно образующая $l,$ а не высота $h .$

ВАЖНОЕ

Площадь полной поверхности

S_{полн} = π R l + π R^{2}

Это боковая поверхность плюс круг основания.

ВАЖНОЕ

Связь радиуса, высоты и образующей

l^{2} = R^{2} + h^{2}

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника внутри конуса. Если известны любые два из трёх элементов - третий всегда находится.

Алгоритм решения

Задачи на конус в базе решаются в 3-4 шага по одному и тому же плану.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на конус

1. Выпиши "дано". Что известно: $R,$ $h,$ $l,$ объём или площадь? Что нужно найти?
2. Найди недостающий элемент. Если просят боковую поверхность, а даны $R$ и $h$ - сначала по теореме Пифагора найди образующую $l .$ И наоборот: для объёма нужна высота $h,$ поэтому если дана образующая - доставай высоту из $l^{2} = R^{2} + h^{2} .$
3. Запиши формулу и подставь числа. Не спеши считать $π$ как десятичную дробь: чаще всего $π$ сократится в ответе.
4. Разберись с $π .$ В ответе базового ЕГЭ не бывает $π .$ Варианты: (а) в условии сказано "в ответе укажите $S / π$ ", тогда $π$ просто отбрасывается; (б) в условии есть $V = 24 π$ или $S = 60 π,$ тогда $π$ сократится при делении; (в) в условии сказано "считать $π = 3$ " - подставь и получи целое число.

Примеры решения

Разберём три задачи: простая подстановка в формулу объёма, поиск боковой поверхности с теоремой Пифагора и задача про изготовление бумажного колпака.

ПРИМЕР 1

Высота бумажного стаканчика

Условие.
Бумажный стаканчик для кофе имеет форму конуса. Его объём равен $48 π$ см³, а радиус верхнего круглого отверстия равен $6$ см. Найди высоту стаканчика в сантиметрах.

Решение.

1. Запишем формулу объёма конуса:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

2. Подставим $V = 48 π$ и $R = 6 :$

48 π = \frac{1}{3} π \cdot 6^{2} \cdot h

3. Возведём радиус в квадрат и умножим на $\frac{1}{3} :$

48 π = \frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot h = 12 π h

4. Разделим обе части на $12 π :$

h = \frac{48 π}{12 π} = 4

Проверка. Подставим $h = 4$ обратно: $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 36 \cdot 4 = 48 π .$ Сходится.

Ответ: $4$

ПРИМЕР 2

Площадь колпака для вечеринки

Условие.
На вечеринку готовят праздничный колпак в форме конуса (без донышка). Радиус нижнего отверстия равен $5$ см, высота колпака равна $12$ см. Найди площадь бумаги, которая уйдёт на один колпак, разделённую на $π .$

ПРИМЕР 3

Дорожный конус

Условие.
Дорожный конус имеет радиус основания $3$ и образующую $7 .$ Найди площадь его полной поверхности, разделённую на $π .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали образующую и высоту

Ошибка: при вычислении боковой поверхности подставляют высоту вместо образующей, то есть считают $π R h$ вместо $π R l .$

Правильно: в формулу $S_{бок} = π R l$ входит именно длина "ската" $l .$ Если в условии дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора $l^{2} = R^{2} + h^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеряли множитель

\frac{1}{3}

в объёме

Ошибка: считают объём конуса как объём цилиндра, то есть по формуле $V = π R^{2} h$ без одной третьей.

Правильно: конус сужается к вершине, он занимает меньше места, чем цилиндр с теми же $R$ и $h .$ Всегда используй $V = \frac{1}{3} π R^{2} h .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возвели высоту в квадрат внутри объёма

Ошибка: пишут $V = \frac{1}{3} π R^{2} h^{2}$ или $V = \frac{1}{3} π R h^{2},$ путая формулы объёма и теоремы Пифагора.

Правильно: в объёме в квадрате стоит только радиус: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h .$ В квадрат возводятся катеты только в теореме Пифагора.

Что запомнить

Внутри конуса прячется прямоугольный треугольник: катеты - радиус $R$ и высота $h,$ гипотенуза - образующая $l .$
Объём: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ (не забудь про $\frac{1}{3}$ ).
Боковая площадь: $S_{бок} = π R l$ (именно $l,$ не $h$ ).
Полная площадь: $S_{полн} = π R l + π R^{2} .$
Связь элементов: $l^{2} = R^{2} + h^{2} .$
Запись "в ответе укажите $S / π$ " означает, что $π$ сократится и в бланк пойдёт обычное число. Пугаться этой записи не нужно.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время: 8 минут на задачу по ФИПИ. Хватит с запасом, если формулы перед глазами.
Порядок: решай после того, как закрыл планиметрию и задание 11 (объёмы многогранников). Конус - ответвление той же темы.
Эскиз: нарисуй маленький конус и подпиши три буквы $R,$ $h,$ $l .$ Потрать на это 30 секунд - сэкономишь минуту на том, что ничего не перепутаешь.
Маркер-слова: "боковая поверхность" $\Rightarrow$ нужна $l,$ "объём" $\Rightarrow$ нужна $h .$ Если дана "не та" пара - сразу примени теорему Пифагора.
Самопроверка: подставь найденное значение обратно в исходную формулу. Занимает 20 секунд, ловит 90% арифметических ошибок.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле вычисляется объём конуса?

2.Что входит в формулу площади боковой поверхности конуса

S_{бок} = π R l ?

3.У конуса

R = 6

h = 8 .

Чему равна образующая

l ?

4.Объём конуса равен

27 π,

радиус основания равен

3 .

Чему равна высота?