Классическое определение вероятности — ЕГЭ база

Классическое определение вероятности (Задание 5)

Задание 5 базового ЕГЭ - это простейшая задача на вероятность из повседневной жизни: покупатель берёт случайную ручку, пассажиру достаётся случайное место, контролёр выбирает случайный насос. Ответ всегда простой: целое число, $0, 5,$ $0, 25,$ $0, 04$ и подобные.

Суть темы

Вероятность события - это число от $0$ до $1,$ которое показывает, насколько возможно это событие.

Если вероятность равна $0,$ событие никогда не произойдёт (невозможное событие).
Если вероятность равна $1,$ событие произойдёт точно (достоверное событие).
Все остальные случаи - между нулём и единицей.

Горизонтальная числовая прямая (шкала вероятности) от 0 до 1

На ЕГЭ ответ всегда записывается в виде конечной десятичной дроби (например, $0, 25$ или $0, 8$ ), поэтому обыкновенные дроби в конце решения нужно переводить в десятичные.

Основные формулы

Большинство задач этого номера решается с помощью одной главной формулы.

ВАЖНОЕ

Классическое определение вероятности

P = \frac{m}{n}

где $n$ - общее количество всех возможных исходов,
$m$ - количество исходов, благоприятствующих нашему событию (то, что нас просят найти).

Иногда в задаче проще найти вероятность того, что событие не произойдёт. Такие события называют противоположными. Сумма вероятностей события и его противоположного всегда равна единице.

ВАЖНОЕ

Вероятность противоположного события

P (не A) = 1 - P (A)

Если в задаче есть два независимых события одновременно (например, два пенальти в разных матчах - исход одного не влияет на другой), их вероятности перемножаются.

ВАЖНОЕ

Умножение независимых вероятностей

P (оба события) = P_{1} \cdot P_{2}

Алгоритм решения

Для базовых задач с текстом про насосы, сумки, билеты или пассажиров отлично работает следующий план.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на вероятность

1. Прочитай вопрос. Выдели слово-маркер: что именно нужно найти? (бракованный или исправный, удобный или неудобный).
2. Найди $n$ (все исходы). Это общее количество предметов, людей или попыток.
3. Найди $m$ (благоприятные исходы). Это количество тех предметов, о которых спрашивают в вопросе.
4. Раздели $m$ на $n .$ Запиши дробь $\frac{m}{n} .$
5. Переведи в десятичную дробь. Сократи дробь или домножь знаменатель до $10,$ $100,$ $1000,$ либо просто раздели числитель на знаменатель столбиком.

Примеры решений

Пять типичных сюжетов: от прямой подстановки в формулу до комбинации нескольких событий.

ПРИМЕР 1

Прямое применение формулы

Условие:
Фабрика выпускает портативные аккумуляторы. В среднем из $400$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $12$ имеют скрытый дефект. Найди вероятность того, что случайно выбранный аккумулятор окажется со скрытым дефектом.

Решение:

1. Общее количество аккумуляторов: $n = 400 .$
2. Нас просят найти вероятность покупки дефектного аккумулятора. Благоприятные исходы - это дефектные устройства, их $m = 12 .$
3. Применяем классическую формулу:

P = \frac{m}{n} = \frac{12}{400}

4. Переведём в десятичную дробь. Удобно разделить числитель и знаменатель на $4 :$

\frac{12}{400} = \frac{3}{100} = 0, 03

Ответ: $0, 03$

ПРИМЕР 2

Противоположное событие

Условие:
В киоске продаётся $80$ лотерейных билетов. По статистике $4$ билета являются выигрышными. Покупатель выбирает один билет наугад. Найди вероятность того, что билет окажется не выигрышным.

ПРИМЕР 3

Сумма благоприятных исходов

Условие:
В вагоне электропоезда $80$ посадочных мест: $25$ мест у окна, $15$ мест у прохода, остальные - средние. Пассажир M не любит средние места и садится на случайное свободное. Найди вероятность того, что ему достанется удобное место (у окна или у прохода).

ПРИМЕР 4

Бросок двух монет и умножение вероятностей

Условие:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

ПРИМЕР 5

Умножение независимых событий

Условие:
Вратарь отбивает пенальти с вероятностью $0, 4 .$ В двух разных матчах ему пришлось отбить по одному пенальти. Найди вероятность того, что вратарь отобьёт оба пенальти.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Невнимательное чтение вопроса

Ошибка: В условии сказано, что бракованных деталей $5$ из $100 .$ В вопросе просят найти вероятность выбрать исправную деталь. Ученик делит $5$ на $100$ и пишет ответ $0, 05 .$

Правильно: Всегда подчёркивай слово перед знаком вопроса. Просят исправную? Значит, $m = 100 - 5 = 95 .$ И ответ будет $\frac{95}{100} = 0, 95 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между "всего" и "остальные"

Ошибка: В условии: "На выставке $10$ картин российских художников и $40$ картин зарубежных художников". При поиске вероятности выбрать российскую картину ученик делит $10$ на $40 .$

Правильно: В знаменателе $n$ должно быть общее число. Сначала находим $n = 10 + 40 = 50 .$ Вероятность: $\frac{10}{50} = 0, 2 .$

Что запомнить

Проверяй себя: ответ в задачах на вероятность всегда начинается с " $0, \dots$ " (или равен $1$ ).
Формула $\frac{m}{n}$ работает почти всегда. Главное - правильно найти $m$ (то, о чём спрашивают) и $n$ (всё вместе).
Для противоположного события используй вычитание из единицы: $1 - P .$
Для бросков монеты выписывай все комбинации буквами (ОО, ОР, РО, РР), чтобы не запутаться и наглядно увидеть количество исходов.
Два независимых события (два выстрела, два пенальти, две попытки) - это умножение вероятностей.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около $10$ минут. Вычисления здесь простые, больше времени уходит на внимательное чтение.
Приоритет: высокий. Решай это задание в самом начале - оно приносит "лёгкий" балл.
Проверка здравым смыслом: задай себе вопрос - "Если из $500$ приборов бракованных всего $5,$ то шанс купить хороший должен быть огромным". Получается $0, 99 ?$ Логично. Получается $0, 01 ?$ Значит, вместо исправного прибора посчитана вероятность бракованного - перечитай вопрос.
Не пиши проценты: если ответ вышел в процентах, переведи в десятичную дробь ( $50% = 0, 5,$ $7% = 0, 07$ ).

Проверь себя0 из 4

1.В коробке

50

ручек, из них

10

красных. Какова вероятность наугад взять красную ручку?

2.Вероятность того, что билет выигрышный, равна

0, 05 .

Какова вероятность взять невыигрышный билет?

3.Монету бросают дважды. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно один раз?

4.Стрелок попадает в мишень с вероятностью

0, 5 .

Он делает два независимых выстрела. Какова вероятность, что он попадёт оба раза?