Иррациональные уравнения — ЕГЭ база

Иррациональные уравнения (Задание 17)

Задание 17 базового ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Иррациональные - один из частых типов в этом номере наряду с показательными и логарифмическими. Ответ всегда целое число или простая десятичная дробь.

Суть темы

Иррациональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная $x$ стоит под знаком корня (радикала). Например, $x = 5$ - иррациональное, а $x^{2} = 25$ - обычное квадратное (корня нет).

Житейский смысл такого уравнения простой: "найди число, квадрат которого равен заданному". Если квадрат длины равен $25,$ то сама длина - $5 .$ Поэтому если $x = 5,$ то "длина" $x$ получается возведением $5$ в квадрат: $x = 25 .$

Главный приём - возведение в квадрат обеих частей. Это законно, если справа стоит неотрицательное число (потому что квадратный корень не бывает отрицательным). В базовом ЕГЭ правая часть - это всегда $0$ или положительное число, так что можно смело возводить.

Основные формулы

В базе встречаются два основных вида иррациональных уравнений.

ВАЖНОЕ

Возведение в квадрат

f (x) = a ⟺ f (x) = a^{2} при a ⩾ 0

Слева корень исчезает, справа число умножается само на себя.

ВАЖНОЕ

Равенство дробей с корнем в знаменателе

\frac{1}{x} = \frac{1}{a} ⟺ x = a при a > 0

Если числители одинаковые (обычно единицы), то равны и знаменатели. Дальше - по первой формуле: $x = a^{2} .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать иррациональное уравнение

1. Проверь, что справа неотрицательное число. Если справа $0$ или положительное число - работаем дальше. Если справа отрицательное - решений нет.
2. Возведи обе части в квадрат. Слева корень пропадает, справа число умножается само на себя ( $7^{2} = 49,$ $6^{2} = 36$ ).
3. Реши полученное уравнение. Обычно линейное: перенеси числа в одну сторону, $x$ - в другую.
4. Сделай проверку. Подставь найденный $x$ в исходное уравнение. Если получилось верное равенство - ответ правильный.

Проверка ответа

Проверка - не формальность, а защита от ошибок и посторонних корней. Схема простая: подставил корень - получил верное равенство - записал ответ.

✓СОВЕТ

Быстрая проверка без подстановки

Если получил $x_{0},$ достаточно посчитать $f (x_{0})$ (то, что стоит под корнем) и сравнить с $a^{2} .$ Если $f (x_{0}) = a^{2}$ - корень верный.

Примеры решения

Разберём три задачи, от простой к чуть более хитрой.

ПРИМЕР 1

Классическое уравнение

Условие:
Реши уравнение $2 x + 7 = 5 .$

Решение:

1. Справа стоит $5$ - положительное число, всё в порядке. Возводим обе части в квадрат:

(2 x + 7)^{2} = 5^{2}

2. Слева корень пропадает, справа $5 \cdot 5 = 25 :$

2 x + 7 = 25

3. Переносим $7$ вправо со сменой знака:

2 x = 25 - 7 = 18

x = 9

4. Проверка: $2 \cdot 9 + 7 = 18 + 7 = 25 = 5 .$ Сходится.

Ответ: $9$

ПРИМЕР 2

Дробь с корнем в знаменателе

Условие:
Реши уравнение $\frac{1}{x} = \frac{1}{6} .$

ПРИМЕР 3

Отрицательный ответ

Условие:
Реши уравнение $13 - 4 x = 9 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли возвести в квадрат правую часть

Ошибка: Убрали корень слева, но число справа оставили как есть.
Пишут: $x + 4 = 5 ⟹ x + 4 = 5 ⟹ x = 1 .$

Правильно: в квадрат возводятся обе части.
$x + 4 = 5 ⟹ x + 4 = 25 ⟹ x = 21 .$ Проверка: $21 + 4 = 25 = 5 .$ Сходится.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеряли знак при переносе

Ошибка: После возведения в квадрат получилось $10 - x = 16,$ и пишут $x = 16 - 10 = 6 .$

Правильно: знак минус перед $x$ сохраняется при переносе.
$10 - x = 16 ⟺ - x = 16 - 10 ⟺ - x = 6 ⟺ x = - 6 .$ Подстановка в исходное уравнение сразу покажет ошибку, если пропустил минус.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Посторонний корень при отрицательной правой части

Ошибка: Встретилось $x - 2 = - 3,$ возвели в квадрат, получили $x - 2 = 9,$ $x = 11 .$

Правильно: арифметический корень не бывает отрицательным, поэтому уравнение $\dots = - 3$ решений не имеет. Проверка: $11 - 2 = 9 = 3 \neq = - 3 .$ Это и есть посторонний корень, который появился после возведения в квадрат.

Что запомнить

Корень убирается возведением обеих частей в квадрат.
Правило "весов": возводишь слева - возводи и справа ( $7$ превращается в $49,$ $6$ - в $36$ ).

Рисунок-метафора равновесных весов, иллюстрирующий возведени

В дробных уравнениях вида $\frac{1}{x} = \frac{1}{a}$ приравнивай знаменатели.
Если справа отрицательное число - решений нет.
Всегда делай проверку. Подставил $x$ в исходное уравнение - получил верное равенство - записал ответ.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 3-5 минут. Иррациональные уравнения в номере 17 - одни из самых быстрых.
Приоритет: высокий. Алгоритм всегда один и тот же: "возведи - реши - проверь".
Подбор ответа как страховка: если забыл алгоритм, иногда можно подобрать. В уравнении $x + 11 = 5$ задай себе вопрос: "из какого числа корень равен $5 ?$ " Из $25 .$ Значит, $x + 11 = 25,$ откуда $x = 14 .$ Проверка покажет, что всё верно.
Быстрая проверка: посчитай $a^{2}$ и сравни с выражением под корнем после подстановки. Занимает $10$ секунд, но даёт полную уверенность в балле.

Проверь себя0 из 4

1.Реши уравнение

3 x + 4 = 4 .

Чему равен

x ?

2.Сколько корней у уравнения

x - 1 = - 2 ?

3.Реши уравнение

\frac{1}{x} = \frac{1}{7} .

Чему равен

x ?

4.После возведения в квадрат получилось

9 - x = 25 .

Чему равен

x ?