Формулы с тремя переменными — ЕГЭ база

Вычисления по формулам (Задание 4)

Задание 4 проверяет умение работать с математическими, физическими и житейскими формулами. Тебе не нужно учить эти формулы наизусть - они всегда даны в условии. Главная задача - аккуратно подставить известные значения и найти неизвестное.

В формулах с тремя переменными часто встречаются объёмы ( $V = ab c$ ), площади ( $S = ah$ ), физические законы (закон Кулона, плотность, давление), простые проценты по вкладу. Вычисления становятся чуть объёмнее, но суть остаётся прежней. Часто неизвестная величина стоит не слева от знака равенства, а "спрятана" внутри формулы (в знаменателе, под корнем или в скобках).

Ключевые правила алгебры

Чтобы успешно достать нужную переменную из формулы, используй базовые правила преобразования уравнений.

ВАЖНОЕ

Правило пропорции

Если формула имеет вид дробей $\frac{A}{B} = \frac{C}{D},$ её можно переписать "крест-накрест":

A \cdot D = B \cdot C

Это помогает избавиться от многоэтажных дробей.

ВАЖНОЕ

Избавление от корня

Если неизвестная находится под квадратным корнем, возведи обе части уравнения в квадрат.
Если $x = A,$ то $x = A^{2}$ (при условии, что $A ⩾ 0$ ).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как работать с любой формулой

1. Выпиши дано. Внимательно прочитай текст и запиши, какая буква какому числу равна. Выпиши саму формулу.
2. Подставь числа. Замени все известные буквы на их числовые значения.
3. Упрости выражение. Выполни все возможные арифметические действия с числами: сократи дроби, умножь, сложи.
4. Реши уравнение. Вырази оставшуюся неизвестную переменную. Если нужно - используй правило пропорции или возведи обе части в квадрат.
5. Проверь ответ. Подставь найденное число обратно в исходную формулу и убедись, что равенство выполняется.

Примеры решения

Разберём три задачи от простой прямой подстановки до уравнения с корнем, где неизвестную нужно "доставать" из формулы.

ПРИМЕР 1

Объём коробки (прямая подстановка)

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = ab c,$ где $a,$ $b$ и $c$ - длина, ширина и высота. Склад отгружает коробки размером $a = 0, 4$ м, $b = 1, 5$ м и $c = 2$ м. Найди объём одной коробки в кубических метрах.

Решение:

1. Неизвестная $V$ уже выражена. Подставляем числа в формулу:

V = 0, 4 \cdot 1, 5 \cdot 2

2. Перемножаем по шагам. Сначала удобно взять $1, 5 \cdot 2 = 3 :$

V = 0, 4 \cdot 3 = 1, 2

Ответ: $1, 2$

Во втором примере неизвестная "спрятана" в произведении, и нужно выразить её через остальные.

ПРИМЕР 2

Простые проценты по вкладу

Сумма процентов по вкладу за $t$ лет при простой ставке вычисляется по формуле $I = \frac{P \cdot r \cdot t}{100},$ где $P$ - начальная сумма вклада в рублях, $r$ - годовая ставка в процентах, $t$ - время в годах. Вкладчик получил $I = 6000$ рублей процентов за $t = 5$ лет при ставке $r = 12 .$ Найди начальную сумму вклада $P .$

Самые сложные задачи этого типа - те, где есть квадратные корни.

ПРИМЕР 3

Диагональ коробки (избавление от корня)

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $d = a^{2} + b^{2} + c^{2},$ где $a,$ $b$ и $c$ - длины его рёбер. Упаковщик знает длину коробки $a = 3,$ высоту $c = 4$ и длину диагонали $d = 13 .$ Найди ширину $b .$

Прямоугольный параллелепипед с диагональю

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перемножение больших чисел вместо сокращения

Ошибка: Встретив формулу с дробью и большими числами (например, $\frac{60 \cdot P}{100}$ ), начать перемножать всё "в лоб" столбиком. Вероятность ошибиться огромна.

Правильно: Сначала распиши выражение единой дробью и максимально сократи числитель и знаменатель (в примере $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ ). Умножай только то, что осталось после сокращения.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки со знаками при переносе

Ошибка: Решая линейное уравнение, например $169 = 25 + b^{2},$ перенести число не меняя знак и получить $b^{2} = 194 .$

Правильно: Всегда меняй знак с плюса на минус (и наоборот) при переносе слагаемого через знак равенства: $b^{2} = 169 - 25 = 144 .$ Если сомневаешься - сделай проверку подстановкой найденного числа в исходное равенство.

Что запомнить

Сначала подставляй числа, а потом выражай неизвестное - так проще.
Прежде чем решать уравнение, выполни все возможные арифметические действия: сложи числа, возведи в степень, сократи дроби.
Чтобы убрать число из знаменателя, умножь на него всё уравнение.
Чтобы избавиться от большого корня, нужно возвести в квадрат обе части уравнения (включая одиночное число с другой стороны от знака равно).

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около 4 минут.
Приоритет: Решай в первую очередь. Это одно из самых простых и "надёжных" заданий базового ЕГЭ.
Оформление черновика: Пиши дробные черты горизонтально, а не косой линией (не $a / b,$ а $\frac{a}{b}$ ). Это спасёт от ошибок при переносе чисел из числителя в знаменатель.
Самопроверка: Обязательно подставь найденное число в исходную формулу. Если после подстановки левая часть равна правой - балл у тебя в кармане.

Проверь себя0 из 4

1.По формуле

V = ab c

найди

V,

если

a = 0, 5,

b = 2,

c = 3 .

2.Из формулы

I = \frac{P \cdot r \cdot t}{100}

известно

I = 3000,

r = 10,

t = 3 .

Чему равно

P ?

3.Дано

d = a^{2} + b^{2} + c^{2},

a = 2,

b = 3,

c = 6 .

Чему равно

d ?

4.Уравнение

100 = 36 + x^{2} .

Чему равен положительный

x ?