Задание 4: Преобразование выражений — ЕГЭ база

Вычисление по формуле (Задание 4)

Задание 4 проверяет базовое, но очень важное умение - работать с готовыми формулами. Тебе не нужно учить эти формулы наизусть (они могут быть из физики, геометрии или экономики), всё необходимое уже есть в условии. Главная задача - аккуратно подставить известные числа и найти неизвестную величину.

Какие темы встречаются

В банке заданий ФИПИ все задачи этого номера делятся на две основные группы:

1. Формулы с одной и двумя переменными (~48%) - простые геометрические формулы (площади, периметры), перевод температур из Цельсия в Фаренгейты, вычисление стоимости.
2. Формулы с тремя и более переменными (~52%) - физические законы (закон Ома, кинетическая энергия, центростремительное ускорение) или специфические математические конструкции (например, среднее гармоническое).

Общий алгоритм решения

У многих школьников возникает вопрос: что делать сначала - выражать неизвестную букву в виде новой формулы или сразу подставлять числа? В рамках базовой математики безопаснее подставлять числа сразу.

ВАЖНОЕ

Принцип подстановки

Если известны все переменные, кроме одной $x,$ то из формулы $F (x, a, b, c, \dots) = K$ после подстановки чисел получается уравнение:

F (x, числа a_{0}, b_{0}, c_{0}, \dots) = K

Остаётся упростить константы и решить простое (линейное или квадратное) уравнение относительно $x .$

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с формулой

1. Выпиши саму формулу из условия на черновик.
2. Выпиши значения всех известных переменных столбиком (как дано на уроках физики).
3. Подставь числа в формулу. На этом этапе страшная физическая формула превратится в обычное линейное или квадратное уравнение.
4. Упрости выражение. Выполни все возможные арифметические действия (умножение, сложение, возведение в степень) там, где нет неизвестной буквы.
5. Найди неизвестную. Реши получившееся уравнение.

Примеры решения

Разберём два примера из разных подтем: один на формулу с двумя переменными (перевод температуры), другой - на формулу с тремя переменными (физический закон).

ПРИМЕР 1

Формула с двумя переменными

Температура по шкале Фаренгейта связана с температурой по шкале Цельсия формулой $F = 1, 8 C + 32,$ где $C$ - температура в градусах Цельсия, $F$ - температура в градусах Фаренгейта. Сколько градусов по Цельсию соответствуют $F = 50$ градусов по Фаренгейту?

Решение:
Подставим $F = 50$ в формулу:

50 = 1, 8 C + 32

Перенесём $32$ в левую часть с противоположным знаком:

50 - 32 = 1, 8 C

18 = 1, 8 C

Разделим обе части на $1, 8 :$

C = \frac{18}{1 , 8} = 10

Ответ: $10$

ПРИМЕР 2

Формула с тремя переменными

Путь $h$ (в метрах), который тело проходит при свободном падении за $t$ секунд, вычисляется по формуле $h = \frac{g t ^{2}}{2},$ где $g = 10$ м/с $^{2}$ - ускорение свободного падения, $t$ - время в секундах. С какой высоты (в метрах) упало тело, если оно находилось в полёте $t = 3$ секунды?

✓СОВЕТ

Приём на многоэтажные дроби

Если в формуле встречаются дроби внутри дробей (например, $\frac{1}{a}$ при $a = \frac{1}{5}$ ) - помни правило: $\frac{1}{1/5} = 5 .$ Единица, делённая на дробь, переворачивает эту дробь.

ВАЖНОЕ

Отрицательная степень

x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}, x \neq = 0

В частности, $x^{- 1} = \frac{1}{x} .$ Это правило часто встречается в формулах с многоэтажными дробями (среднее гармоническое, электрические цепи).

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка выразить неизвестную в виде формулы

Ошибка: Ученик пытается из формулы $Q = I^{2} \cdot R \cdot t$ выразить сопротивление $R$ буквами, путается в правилах переноса и пишет $R = Q \cdot I^{2} \cdot t .$

Правильно: Подставляй числа сразу! Уравнение $100 = 25 \cdot R \cdot 2$ решить гораздо проще ( $100 = 50 R ⟹ R = 2$ ), чем жонглировать переменными. Оставь вывод формул в буквенном виде для уроков физики.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильная работа с отрицательной степенью

Ошибка: Считать, что отрицательная степень делает число отрицательным (например, $2^{- 3} = - 8$ ).

Правильно: Отрицательная степень переворачивает число: $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}} .$ Значит, $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8} = 0, 125 .$

Что запомнить

Сначала числа, потом вычисления. Подставляй известные значения сразу в исходную формулу.
Многоэтажные дроби решаются по частям. Распиши действия по действиям, как в 5 классе.
Отрицательная степень - это сигнал перевернуть дробь. $x^{- 1} = \frac{1}{x} .$
Всегда переводи обыкновенные дроби в конечные десятичные перед записью в бланк.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 4 минуты.
Когда решать: В самом начале экзамена. Это задание 4 - отличная "разминка" для мозга перед более сложными текстовыми задачами.
Если застрял: Если после подстановки чисел получается уравнение, которое непонятно как решать (например, кубическое), перечитай условие. Скорее всего, где-то потерялось возведение в квадрат или переменные перепутаны местами.

Проверь себя0 из 4

1.Что безопаснее делать в задании 4 базового ЕГЭ?

2.Чему равно

2^{- 3} ?

3.По формуле

h = \frac{g t ^{2}}{2}

при

g = 10

t = 3

высота

h

равна:

4.Чему равно

\frac{1}{1/5} ?