Формулы с одной и двумя переменными — ЕГЭ база

Формулы с одной и двумя переменными (Задание 4)

Задание 4 в базовом ЕГЭ проверяет умение работать с готовыми формулами. Обычно это реальные законы из физики, геометрии или экономики. Хорошая новость в том, что тебе не нужно знать физику или помнить эти формулы наизусть. Всё необходимое уже есть в условии, задача сводится к аккуратной подстановке чисел и решению простого уравнения.

Суть темы

Работа с формулой всегда состоит из двух этапов: подстановка известных значений и поиск неизвестного. В зависимости от того, какую именно величину нужно найти, математически задача сводится к одному из трёх типов уравнений:

1. Прямое вычисление: все переменные справа известны, нужно просто посчитать значение левой части (самый простой случай).
2. Линейное уравнение: неизвестная переменная находится внутри формулы без степеней.
3. Уравнение с дробью (пропорция): неизвестная находится в знаменателе или в сложной многоэтажной дроби.

ВАЖНОЕ

Золотое правило работы с формулами

Сначала подставляй числа, потом решай уравнение

В школьной физике часто учат сначала выразить нужную букву в общем виде, а уже потом подставлять значения. На базовом ЕГЭ по математике такой подход чаще всего приводит к обидным алгебраическим ошибкам. Гораздо безопаснее подставить все числа сразу - тогда сложная многоэтажная формула превратится в обычное, знакомое уравнение.

ВАЖНОЕ

Общая схема подстановки

формула F (x, a, b, \dots) подставь известные уравнение с x F (x, 3, 7, \dots)

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как работать с любой формулой

1. Выпиши саму формулу на черновик отдельно от текста.
2. Определи известные величины. Внимательно прочитай текст и подпиши, какое число какой букве соответствует.
3. Подставь числа в формулу. Замени известные буквы на числа. Неизвестную букву оставь как есть (или замени на $x,$ если так привычнее).
4. Упрости выражение. Выполни все возможные действия с числами: умножь, раздели, сложи то, что можно посчитать.
5. Реши уравнение. Найди оставшуюся неизвестную величину.

Примеры решения

Разберём разные типы формул: от простых житейских расчётов до физических законов с дробями.

Прямое вычисление

Это базовый случай, где нужно просто выполнить арифметические действия.

ПРИМЕР 1

Расчёт стоимости

В компании «Светлый дом» стоимость установки натяжных потолков (в рублях) вычисляется по формуле $C = 3500 + 850 \cdot n,$ где $n$ - площадь потолка в квадратных метрах. Пользуясь этой формулой, рассчитай стоимость установки потолка площадью $14$ квадратных метров.

Поиск переменной внутри формулы

Здесь нужно найти величину, которая находится "внутри" выражения.

ПРИМЕР 2

Длина и скорость

Длина тормозного пути автомобиля (в метрах) до полной остановки приближённо вычисляется по формуле $S = v \cdot t + \frac{v ^{2}}{20},$ где $v$ - скорость в начале торможения (в м/с), а $t$ - время реакции водителя (в секундах). Пользуясь этой формулой, найди время реакции водителя $t,$ если при скорости $v = 10$ м/с тормозной путь составил $S = 25$ метров.

Работа с дробями и пропорциями

Часто формулы содержат дроби, в которых неизвестная может оказаться в знаменателе или в числителе многоэтажной конструкции.

ПРИМЕР 3

Плотность и объём

Плотность вещества вычисляется по формуле $ρ = \frac{m}{V},$ где $m$ - масса тела (в килограммах), а $V$ - его объём (в кубических метрах). Пользуясь этой формулой, найди объём $V$ (в кубических метрах) куска металла, если его масса $m = 78$ кг, а плотность $ρ = 7, 8$ кг/м $^{3} .$

Формулы со степенями

Если неизвестная величина находится в квадрате, в конце потребуется извлечь корень.

ПРИМЕР 4

Свободное падение

Высота, с которой тело падает без начальной скорости (в метрах), вычисляется по формуле $h = \frac{g \cdot t ^{2}}{2},$ где $g = 10$ м/с $^{2}$ - ускорение свободного падения, а $t$ - время падения (в секундах). Пользуясь этой формулой, найди время падения $t$ (в секундах), если тело упало с высоты $h = 45$ метров.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Выражение переменной в буквах до подстановки

Ошибка: Ученик пытается сначала алгебраически выразить неизвестную букву из сложной формулы, путается в переносах и затем подставляет числа в неверную формулу.
Например, из $ρ = \frac{m}{V}$ пытается выразить $V$ "в общем виде" и ошибочно записывает $V = ρ \cdot m$ (потерял деление).

Правильно: Как сказано в алгоритме - сначала подставь числа! Из $7, 8 = \frac{78}{V}$ любой ученик легко получит $V = \frac{78}{7 , 8} = 10,$ не путаясь в буквах.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Порядок действий при подстановке

Ошибка: В формуле $h = \frac{g \cdot t ^{2}}{2}$ при $g = 10$ и $t = 3$ записывают $h = \frac{( 10 \cdot 3 ) ^{2}}{2} = \frac{900}{2} = 450 .$ Квадрат возводят от всего произведения, а не только от $t .$

Правильно: Сначала возводим в степень, потом умножаем (порядок действий): $t^{2} = 3^{2} = 9,$ затем $g \cdot t^{2} = 10 \cdot 9 = 90,$ и только потом делим на $2 :$ $h = \frac{90}{2} = 45 .$ Если сомневаешься - расставь промежуточные скобки.

Что запомнить

Сначала подставляй числа, потом решай уравнение. Это самый надёжный путь.
Соблюдай порядок действий при подстановке: сначала степень, потом умножение, потом сложение.
Если неизвестная оказалась в знаменателе - умножь обе части уравнения на неё.
Если в формуле есть квадрат неизвестной (например, $t^{2}$ ), не забудь извлечь корень в самом конце и взять положительный ответ.
Если нужно избавиться от десятичной запятой в знаменателе дроби (например, $\frac{78}{7 , 8}$ ), умножь числитель и знаменатель на $10,$ $100$ и т.д.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: На это задание стоит тратить около 4 минут.
Когда решать: Решай сразу, в первом блоке простых алгебраических заданий. Оно редко таит в себе подвохи.
Проверка: Найдя ответ, сделай обратную подстановку. Например, в Примере 4 мы нашли время $t = 3 .$ Проверим: $h = \frac{10 \cdot 3 ^{2}}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 .$ Сошлось с условием! Обратная подстановка занимает 10 секунд и гарантирует балл.
Если ответ получился некрасивый (не целый, с большой дробью) - вернись и пересчитай. В задании 4 ответы всегда аккуратные.

Проверь себя0 из 4

1.С чего надёжнее начинать решение задачи с формулой на базовом ЕГЭ?

2.По формуле

C = 3500 + 850 \cdot n

стоимость при

n = 10

равна:

3.Из уравнения

7, 8 = \frac{78}{V}

следует, что

V

равно:

4.В формуле

h = \frac{g \cdot t ^{2}}{2}

при

g = 10

t = 3

значение

h

равно: