Действия со степенями — ЕГЭ база

Действия со степенями (Задание 16)

Задание 16 проверяет твоё умение работать с числами и выражениями. Одной из самых частых тем здесь являются свойства степеней. В базовом ЕГЭ не нужно применять сложные алгебраические трюки - достаточно аккуратно использовать базовые правила и не запутаться в знаках, особенно если степень отрицательная.

Суть темы

Степень показывает, сколько раз число (основание) умножается само на себя. Если у нас есть $a^{n},$ то $a$ - это основание, а $n$ - показатель степени.

Главное правило задания 16: никогда не возводи большие числа в степень в лоб. Если видишь что-то вроде $4^{5},$ не пытайся умножать четверку пять раз. Сначала упрости выражение с помощью свойств степеней, и в конце у тебя останется простое вычисление.

Основные формулы

Эти формулы работают, когда у выражений одинаковые основания.

Схема-шпаргалка трёх главных правил степеней на одном полотн

ВАЖНОЕ

Умножение и деление степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а при делении - вычитаются:

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

\frac{a ^{n}}{a ^{m}} = a^{n - m}

ВАЖНОЕ

Степень в степени

Если степень возводится в ещё одну степень, показатели перемножаются:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

Особое внимание удели отрицательным показателям. Минус в показателе не делает само число отрицательным, он переворачивает дробь.

ВАЖНОЕ

Отрицательная степень

Отрицательная степень опускает число в знаменатель:

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Например: $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8} .$

Редко, но бывает и дробный показатель - он означает корень.

ВАЖНОЕ

Дробный показатель

a^{m / n} = n a^{m}

Например: $8^{1/3} = 38 = 2,$ $9^{3/2} = 9^{3} = 729 = 27 .$

Алгоритм решения

В большинстве задач на степени алгоритм действий одинаков.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи со степенями

1. Сделай основания одинаковыми. Если в задаче есть числа $2,$ $4$ и $8,$ представь их все как степени двойки ( $4 = 2^{2},$ $8 = 2^{3}$ ).
2. Раскрой скобки. Если есть выражение вида $(a^{n})^{m},$ перемножь показатели.
3. Объедини числитель и знаменатель. Сначала выполни умножение (сложи показатели), затем деление (вычти показатели).
4. Вычисли итог. В самом конце у тебя останется простое число в небольшой степени, например $3^{2}$ или $2^{4} .$ Посчитай ответ.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых простых к тем, где легко ошибиться.

ПРИМЕР 1

Сведение к одному основанию

Найди значение выражения $\frac{9 ^{3} \cdot 27}{3 ^{8}} .$

ПРИМЕР 2

Степень в степени и отрицательные показатели

Найди значение выражения $(2^{- 3} \cdot 2^{5})^{3} .$

В базе очень часто встречаются задачи со стандартным видом числа - это когда обычные числа умножаются на $10$ в какой-то степени. Решаются они группировкой.

ПРИМЕР 3

Работа с десятками

Найди значение выражения $2, 5 \cdot 1 0^{5} \cdot 8 \cdot 1 0^{- 3} .$

Иногда в задаче нужно не умножать, а складывать. Свойства степеней тут не работают, но работает вынесение общего множителя - даже если показатели разные.

ПРИМЕР 4

Сложение со степенями разных показателей

Найди значение выражения $3^{5} + 2 \cdot 3^{4} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вычитание с отрицательным знаменателем

Ошибка: При вычислении $\frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{- 2}}$ пишут $1 0^{0} = 1 .$ Теряют минус нижнего показателя.

Правильно: При делении мы вычитаем показатель знаменателя. Обязательно пиши скобки, если он отрицательный: $1 0^{2 - (- 2)} = 1 0^{2 + 2} = 1 0^{4} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение вместо перемножения

Ошибка: $(2^{3})^{4} = 2^{7} .$ Путают умножение степеней со степенью в степени.

Правильно: Когда скобки разделяют показатели, они перемножаются: $(2^{3})^{4} = 2^{12} .$ Складываются они только если стоят две базы рядом: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} .$ Подглядывай в справочные материалы, чтобы не перепутать!

Что запомнить

Свойства степеней применяются только для одинаковых оснований. Если основания разные, попытайся свести их к одному (например, $9 = 3^{2}$ ).
При умножении показатели складываем, при делении - вычитаем.
Минус в показателе означает дробь: $\frac{1}{a ^{n}} .$
При работе с научным форматом (числа вида $A \cdot 1 0^{n}$ ) считай обычные числа с обычными, а десятки - с десятками.

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 3-5 минут. Задание техническое и быстрое.
Очередность: Решай в первой половине экзамена. Это чистая арифметика, которая помогает "разогнать" мозг.
Подстраховка: Если сомневаешься в свойстве степени, просто распиши её руками. Например, $\frac{2 ^{5}}{2 ^{3}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} .$ Зачеркни по три двойки сверху и снизу, останется $2 \cdot 2 = 4,$ то есть $2^{2} .$

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

2^{- 3} \cdot 2^{5} ?

2.Чему равно

(3^{2})^{4} ?

3.Чему равно

\frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{- 2}} ?

4.Как записать

5^{- 2}

без отрицательного показателя?