Действия с обыкновенными дробями

Действия с обыкновенными дробями - это фундамент для успешной сдачи базового ЕГЭ. В задании 14 (а также в текстовых задачах и геометрии) часто требуется сложить, умножить или разделить дроби. Главное правило экзамена: в бланк ответов можно записать только целое число или конечную десятичную дробь. Поэтому любую обыкновенную дробь в конце решения придётся перевести в десятичную.

Основные правила и формулы

Обыкновенная дробь состоит из числителя (сверху) и знаменателя (снизу). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель - сколько таких частей взяли. Если пирог разрезали на $8$ равных кусков и ты съел $3$ из них, значит, ты съел $\frac{3}{8}$ пирога.

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю:

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}

Искать общий знаменатель простым перемножением $b \cdot d$ можно, но иногда это даёт слишком большие числа. Лучше искать наименьшее общее кратное (НОК) - самое маленькое число, которое делится и на $b,$ и на $d .$

ВАЖНОЕ

Умножение и деление дробей

При умножении числитель умножается на числитель, а знаменатель - на знаменатель:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

При делении первая дробь умножается на «перевёрнутую» вторую:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Если в задаче встречается смешанное число (например, $2 \frac{3}{7}$ ), перед умножением или делением его обязательно нужно перевести в неправильную дробь.

ВАЖНОЕ

Перевод в неправильную дробь

Целая часть умножается на знаменатель и прибавляется к числителю:

A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}

Пример: $2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} .$

Алгоритм решения выражений с дробями

Для безошибочного вычисления длинных выражений придерживайся чёткого плана:

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления

1. Расставь порядок действий. Сначала действия в скобках, затем умножение/деление, в конце - сложение/вычитание.
2. Подготовь числа. Переведи все смешанные числа в неправильные дроби. Если в примере есть целое число, подпиши ему знаменатель $1$ (например, $5 = \frac{5}{1}$ ).
3. Выполни действия по порядку. При сложении/вычитании ищи общий знаменатель. При умножении/делении записывай под общую черту и сокращай.
4. Переведи ответ в десятичную дробь. Для этого либо раздели числитель на знаменатель столбиком, либо домножь дробь так, чтобы в знаменателе получилось $10,$ $100$ или $1000 .$

Примеры решения

Начнём с разгоночного примера: скобки, вычитание и умножение в одном выражении.

ПРИМЕР 1

Скобки и умножение

Найди значение выражения $(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}) \cdot \frac{12}{11} .$

Следующий пример - со смешанными числами и житейским сюжетом. Такие задачи часто встречаются в условиях ЕГЭ.

ПРИМЕР 2

Смешанные числа в рецепте

По рецепту на один торт нужно $2 \frac{1}{4}$ стакана муки. Ты печёшь $\frac{2}{3}$ торта (получится поменьше). Сколько стаканов муки понадобится?

В третьем примере появится «многоэтажная» дробь - когда одна дробная черта длиннее других. Эта длинная черта работает как знак деления.

Схема-пояснение многоэтажной дроби из Примера 3

ПРИМЕР 3

Вложенная (многоэтажная) дробь

Найди значение выражения $\frac{3}{4} + \frac{1}{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение числителей и знаменателей напрямую

Ошибка: При сложении дробей складывают верх с верхом, а низ с низом: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} .$ Это грубейшая ошибка!

Правильно: Складывать и вычитать дроби можно только после приведения к общему знаменателю. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение смешанного числа на целое по частям

Ошибка: Пытаются перемножить целые части отдельно, а дробные отдельно: $2 \frac{1}{2} \cdot 3 = 6 \frac{1}{2} .$

Правильно: При умножении и делении всегда переводи смешанное число в неправильную дробь. $2 \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{15}{2} = 7, 5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сокращение при сложении

Ошибка: Пытаются сокращать числа в числителе и знаменателе, если между дробями стоит знак «плюс» или «минус».

Правильно: Сокращать крест-накрест можно только при умножении. При сложении и вычитании сокращать дроби друг с другом нельзя.

Что запомнить

1. Сложение и вычитание: ищем общий знаменатель, домножаем числители.
2. Умножение: пишем под общую черту, сокращаем одинаковые множители сверху и снизу, затем умножаем.
3. Деление: вторую дробь переворачиваем, знак меняем на умножение.
4. Смешанные числа: перед умножением и делением обязательно делаем из них неправильные дроби.
5. Финальный ответ: всегда переводим результат в десятичную дробь (доводим знаменатель до $10, 100, 1000$ или делим числитель на знаменатель столбиком).

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Время выполнения: 4-5 минут.
Приоритет: Задание 14 - одно из самых надёжных и простых. Решай его в первую очередь вместе с заданиями 1-4.
Самопроверка: Если в конце получилась дробь вроде $\frac{1}{3}$ или $\frac{2}{7},$ которую невозможно перевести в конечную десятичную (при делении столбиком цифры повторяются бесконечно) - значит, на одном из шагов допущена вычислительная ошибка. Вернись и перепроверь общий знаменатель и сокращения.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} ?

2.Как выполнить деление

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} ?

3.Переведи

2 \frac{3}{7}

в неправильную дробь.

4.Что записать в бланк ответа, если в конце решения получилась дробь

\frac{3}{2} ?