Действия с десятичными дробями — ЕГЭ база

Действия с десятичными дробями (Задание 14)

В четырнадцатом задании ЕГЭ базового уровня тебя ждёт проверка вычислительных навыков. Сюжетных уловок здесь нет — только числа и арифметические действия. Десятичные дроби встречаются в этом номере чаще всего, поэтому умение быстро и без ошибок складывать, умножать и делить числа с запятой — залог уверенно полученного балла.

Ответ в задании 14 всегда либо целое число, либо конечная десятичная дробь. Если в вычислениях получается что-то вроде $0, 3333 \dots,$ то, скорее всего, где-то закралась ошибка.

Суть темы

Десятичная дробь — это другой способ записи обыкновенной дроби, знаменатель которой равен $10,$ $100,$ $1000$ и так далее. Запятая отделяет целую часть от дробной. Принципиальное правило работы с такими числами: их всегда можно свести к обычным целым числам, если правильно двигать запятую.

Чтобы успешно справляться с заданием 14, нужно твёрдо знать переводы самых популярных обыкновенных дробей в десятичные. Это сэкономит время и убережёт от долгих вычислений столбиком.

ВАЖНОЕ

Базовые переводы дробей

\frac{1}{2} = 0, 5 \frac{1}{4} = 0, 25 \frac{3}{4} = 0, 75

\frac{1}{5} = 0, 2 \frac{1}{8} = 0, 125 \frac{1}{10} = 0, 1

ВАЖНОЕ

Перевод десятичной в обыкновенную

0, a = \frac{a}{10}, 0, ab = \frac{ab}{100}, 0, ab c = \frac{ab c}{1000}

После записи дробь сокращай. Например: $0, 35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} .$

Главные правила вычислений

При работе с десятичными дробями есть три основных правила — по одному на каждое арифметическое действие.

1. Сложение и вычитание: запятая под запятой

Если вычисляешь столбиком, строго выравнивай числа по запятой. Пустые места справа можно заполнять нулями. Например, $3, 2 - 1, 15$ нужно записывать как $3, 20 - 1, 15 .$

Сложение столбиком с выравниванием по запятой

2. Умножение: считаем знаки после запятой

Умножай числа так, будто запятых нет вообще. Когда получишь результат, посчитай, сколько ВСЕГО цифр стояло после запятой у обоих множителей вместе. Именно столько цифр нужно отделить запятой в итоговом ответе (отсчитывая справа налево).

ВАЖНОЕ

Правило умножения десятичных дробей

Число знаков после запятой в произведении равно сумме знаков после запятой у множителей.

1 знак 0, 2 \cdot 2 знака 0, 03 = 1 + 2 = 3 знака 0, 006

3. Деление: избавляемся от запятой в делителе

ВАЖНОЕ

Сдвиг запятой при делении

Делить на десятичную дробь неудобно. Главное правило: всегда сдвигай запятую вправо и в делимом, и в делителе на одинаковое число знаков, пока делитель не станет целым числом.

\frac{A}{B} = \frac{A \cdot 10}{B \cdot 10} = \frac{A \cdot 100}{B \cdot 100}

Схема сдвига запятой при делении на конкретном примере 3,08

Алгоритм решения выражения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 14

1. Определи порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и только потом — сложение и вычитание.
2. Приведи всё к одному виду. Если в выражении есть и обыкновенные, и десятичные дроби, переведи всё в десятичные (это почти всегда удобнее в базе).
3. Упрости этажи. Если перед тобой большая многоэтажная дробь, отдельно посчитай весь числитель, отдельно — весь знаменатель, и только потом выполняй финальное деление.
4. Избавься от запятых при делении. Домножь верх и низ на $10,$ $100$ или $1000,$ чтобы делить целое на целое.

Примеры решения

Разберём три примера: от вычисления с житейским контекстом до работы со степенями десятки.

ПРИМЕР 1

Цена и расход бензина

Условие:
Автомобиль расходует $8, 4$ литра бензина на каждые $100$ км. На приборной панели осталось $5, 6$ литра, впереди спуск на $40$ км, где расход уменьшится на $2, 1$ литра на $100$ км. Хватит ли бензина на этот участок? Найди значение выражения $\frac{5 , 6 - ( 8 , 4 - 2 , 1 ) \cdot 0 , 4}{0 , 7} .$

В некоторых задачах специально смешивают два формата дробей — обыкновенные и десятичные. Ключ к успеху: свести всё к одному виду.

ПРИМЕР 2

Масса и цена за килограмм

Условие:
Торговец взвешивает орехи и считает стоимость. Найди значение выражения $\frac{9}{20} \cdot 0, 8 + \frac{1}{5} .$

Часто числа записывают в стандартном виде — через степени десятки. Так обычно указывают массы (например, масса Земли $\approx 6 \cdot 1 0^{24}$ кг) или расстояния. Здесь работают свойства степеней.

ПРИМЕР 3

Степени десятки

Условие:
Найди значение выражения $(6, 3 \cdot 1 0^{4}) : (2, 1 \cdot 1 0^{- 1}) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря нуля при умножении

Ошибка: Вычисляют $0, 2 \cdot 0, 3$ и пишут ответ $0, 6,$ теряя ноль после запятой.

Правильно: У числа $0, 2$ один знак после запятой. У числа $0, 3$ один знак после запятой. Вместе — $2$ знака. Умножаем $2 \cdot 3 = 6$ и отделяем $2$ знака справа налево — для этого к $6$ приписываем ноль слева: получаем $0, 06 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное выравнивание при сложении

Ошибка: Складывают $1, 2 + 0, 03$ так: видят $2$ и $3,$ складывают их и получают $1, 5 .$

Правильно: При сложении и вычитании строго "запятая под запятой". Выровняй количество знаков, дописав ноль: $1, 20 + 0, 03 = 1, 23 .$

Что запомнить

Сложение и вычитание: выравнивай по запятой, дописывай нули справа.
Умножение: умножай как обычные числа, потом отдели запятой сумму знаков обоих множителей. Если цифр в произведении меньше, чем нужно — допиши нули слева.
Деление: никогда не дели на дробь. Сдвигай запятые вправо, пока делитель не станет целым числом.
Дроби-спасатели: выучи переводы для $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4},$ $\frac{3}{4},$ $\frac{1}{5},$ $\frac{1}{8} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 4-5 минут.
Приоритет: одно из самых простых заданий. Решай его в начале экзамена, чтобы поймать ритм.
Самопроверка: сделай обратное действие. Если при делении $\frac{8 , 6}{0 , 4}$ получилось $21, 5,$ умножь $21, 5$ на $0, 4$ и проверь, получится ли $8, 6 .$
Если чувствуешь, что путаешься в десятичных запятых, переводи всё в обыкновенные дроби (например, $0, 5$ запиши как $\frac{1}{2}$ ). Ответ от этого не изменится.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно произведение

0, 2 \cdot 0, 3 ?

2.Чему равна сумма

1, 2 + 0, 03 ?

3.Как записать дробь

\frac{1}{8}

в виде десятичной?

4.Чему равно

(6, 3 \cdot 1 0^{4}) : (2, 1 \cdot 1 0^{- 1}) ?