Числовые промежутки — ЕГЭ база

Числовые промежутки (Задание 18)

В задании 18 ЕГЭ-база часто просят выбрать из нескольких чисел то, которое принадлежит заданному промежутку. Типичная формулировка: "Какое из чисел $2,$ $5,$ $10,$ $17$ принадлежит промежутку $[2; 3] ?$ " Чтобы уверенно отвечать на такие вопросы, нужно знать виды промежутков, понимать, что значит "принадлежит", и уметь прикинуть значение числа.

Виды промежутков

Промежуток - это множество всех действительных чисел, расположенных на числовой прямой между двумя концами. Важно только одно: какие концы входят в промежуток, а какие нет. Это показывают квадратные и круглые скобки.

ВАЖНОЕ

Отрезок (закрытый промежуток)

[a; b] = {x \in R ∣ a ⩽ x ⩽ b}

Оба конца входят в промежуток. На числовой прямой концы рисуются закрашенными точками.

ВАЖНОЕ

Интервал (открытый промежуток)

(a; b) = {x \in R ∣ a < x < b}

Ни один конец не входит. На числовой прямой концы рисуются пустыми точками-кружочками.

ВАЖНОЕ

Полуинтервалы

[a; b) = {x \in R ∣ a ⩽ x < b}

(a; b] = {x \in R ∣ a < x ⩽ b}

Один конец входит, другой нет. Квадратная скобка - концом "захватили", круглая - "отпустили".

ВАЖНОЕ

Лучи и объединения

[a; + \infty) = {x ∣ x ⩾ a}, (- \infty; a] = {x ∣ x ⩽ a}

[a; b] \cup [c; d] - объединение двух отрезков

Возле $+ \infty$ и $- \infty$ всегда круглая скобка: бесконечность не число, в множество попасть не может.

Что значит "принадлежит"

Запись $x \in [a; b]$ читается как " $x$ принадлежит отрезку от $a$ до $b$ ". Это значит, что число $x$ одновременно удовлетворяет двум условиям: $x ⩾ a$ и $x ⩽ b .$ Чтобы проверить принадлежность, достаточно сравнить число с обоими концами.

iЗАМЕЧАНИЕ

Главное правило

Число $x$ попадает в промежуток, если оно лежит между концами и скобка на "своей стороне" закрывается квадратной, если $x$ совпал с концом. Если $x$ равен концу, а скобка круглая, то $x$ не принадлежит.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм проверки принадлежности

1. Прочитай промежуток. Определи его вид: отрезок, интервал, полуинтервал, луч. Выпиши концы $a$ и $b .$
2. Оцени число. Если число "некрасивое" (корень, дробь, степень), прикинь его значение до одного знака после запятой. Для корней используй ближайшие точные квадраты, для дробей - деление уголком.
3. Сравни с концами. Проверь два неравенства: $x ⩾ a$ (или $>,$ если скобка круглая) и $x ⩽ b$ (или $<$ ).
4. Отметь на черновике. Нарисуй на числовой прямой отрезок и точку числа - так сразу видно, попадает или нет.
5. Запиши ответ. В бланк пишется само число (если спрошено) или номер варианта.

Оценка некрасивых чисел

В задании 18 часто участвуют корни, дроби и отрицательные степени. Чтобы сравнить их с концами промежутка, зажми каждое число между двумя целыми.

✓СОВЕТ

Три золотых корня

Запомни наизусть - эти три числа закрывают большинство задач базы:

$2 \approx 1, 4$
$3 \approx 1, 7$
$5 \approx 2, 2$

Для $n,$ если $n$ - не точный квадрат, ищи два ближайших квадрата: $a^{2} < n < b^{2},$ тогда $a < n < b .$ Например, $9 < 13 < 16,$ значит $3 < 13 < 4 .$

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Принадлежность точки отрезку

Какое из чисел $2,$ $5,$ $10,$ $17$ принадлежит промежутку $[2; 3] ?$

Решение:

Отрезок $[2; 3]$ - обе скобки квадратные, значит число $x$ должно удовлетворять $2 ⩽ x ⩽ 3 .$ Что эквивалентно $4 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ (для положительных $x$ ). Тогда среди $2,$ $5,$ $10,$ $17$ попадёт то, у которого подкоренное число лежит между $4$ и $9 .$

$2 :$ $2 < 4,$ значит $2 < 2 .$ Не подходит.
$5 :$ $4 ⩽ 5 ⩽ 9 .$ Подходит.
$10 :$ $10 > 9,$ значит $10 > 3 .$ Не подходит.
$17 :$ $17 > 9,$ значит $17 > 3 .$ Не подходит.

Ответ: $5$

ПРИМЕР 2

Разные типы чисел

Какое из чисел $\frac{7}{3},$ $3,$ $1, 5,$ $0, 2 5^{- 1}$ принадлежит промежутку $(2; 3) ?$

ПРИМЕР 3

Полуинтервал и объединение

Какое из чисел $- 1,$ $2,$ $3, 5,$ $5$ принадлежит промежутку $[- 2; 0) \cup [3; 5) ?$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали круглые и квадратные скобки

Ошибка: Считают, что число $3$ принадлежит промежутку $[1; 3),$ потому что $1 ⩽ 3$ и $3 ⩽ 3 .$

Правильно: Правая скобка круглая, значит $3$ не входит в промежуток. Условие: $1 ⩽ x < 3$ (строгое неравенство). Число $3$ лежит ровно на границе, но не принадлежит.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Бесконечность со скобкой

Ошибка: Записывают промежуток $[1; + \infty]$ - квадратная скобка рядом с бесконечностью.

Правильно: Возле $\pm \infty$ всегда круглая скобка: $[1; + \infty) .$ Бесконечность - это не число, которое может принадлежать множеству, это обозначение неограниченности.

Что запомнить

Квадратная скобка - конец входит в промежуток. Круглая - не входит.
Возле $\pm \infty$ всегда круглая скобка.
Чтобы проверить принадлежность, сравни число с обоими концами и посмотри на вид скобок.
Для корней зажимай подкоренное число между ближайшими точными квадратами.
Объединение $A \cup B$ - подходит число, попавшее хоть в один кусок.
Три корня для экзамена: $2 \approx 1, 4,$ $3 \approx 1, 7,$ $5 \approx 2, 2 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около 8 минут.
Приоритет: лёгкая задача на понимание скобок и оценку чисел - решай в первом проходе.
Черновик: всегда рисуй на числовой прямой промежуток и отмечай точки чисел-кандидатов. Визуально сразу видно, кто попал.
Проверка границ: если число совпало с концом промежутка - посмотри на скобку. Квадратная - засчитывается, круглая - нет. На этом ловят больше всего.
Если несколько подходят: в задании 18 базы обычно ответ один. Если нашлось два - перепроверь оценку, скорее всего, где-то ошибся на знаке неравенства.

Проверь себя0 из 4

1.Принадлежит ли число

3

промежутку

[1; 3) ?

2.Какое из чисел принадлежит отрезку

[2; 3] ?

3.Какая скобка ставится возле

+ \infty ?

4.Число

- 1

и промежуток

[- 2; 0) \cup [3; 5)

— что верно?