Четырёхугольники и их элементы — ЕГЭ база

Четырёхугольники и их элементы (Задание 12)

В 12-м задании базового ЕГЭ по математике тебя ждёт планиметрия - геометрия на плоскости. Часто здесь встречаются задачи на четырёхугольники: параллелограммы, ромбы, прямоугольники и трапеции. Главный секрет в том, что почти любой четырёхугольник можно разбить на прямоугольные треугольники и решить задачу через старую добрую теорему Пифагора либо применить готовую формулу площади.

Суть темы

Чтобы уверенно решать задачи на четырёхугольники, нужно знать "анатомию" основных фигур: какие стороны и углы равны, как устроены диагонали, чем параллелограмм отличается от ромба и трапеции. В базовом ЕГЭ составители часто "маскируют" простые фигуры под сложными описаниями - разберёмся, кто есть кто.

Ключевые формулы и свойства

Начнём с того, что есть у любого четырёхугольника.

ВАЖНОЕ

Сумма углов четырёхугольника

У любого выпуклого четырёхугольника сумма внутренних углов равна $36 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 36 0^{\circ}

У параллелограмма противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $18 0^{\circ} .$

Теперь формулы площадей - их достаточно три штуки, и любая задача с площадью четырёхугольника в базе решается через одну из них.

ВАЖНОЕ

Площадь параллелограмма

S_{парал} = a \cdot h

где $a$ - сторона, $h$ - высота, опущенная на эту сторону. Эта же формула подходит для прямоугольника (высота = соседняя сторона) и квадрата.

Потяни A, B или D: вершина C следует за ними, а противоположные стороны остаются равными и параллельными.

ВАЖНОЕ

Площадь ромба через диагонали

S_{ромб} = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

где $d_{1}$ и $d_{2}$ - длины диагоналей. У ромба можно считать и через "сторону на высоту", но через диагонали почти всегда быстрее.

ВАЖНОЕ

Площадь трапеции

S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

где $a$ и $b$ - основания (параллельные стороны), $h$ - высота. Выражение $\frac{a + b}{2}$ - это длина средней линии трапеции.

Скрытые фигуры и диагонали

Давай посмотрим, как составители экзамена прячут простые фигуры за длинными фразами.

1. Прямоугольник. Если в задаче сказано: "Дан параллелограмм, у которого диагонали равны", смело заменяй это на прямоугольник. Диагонали равны только у него (и у квадрата, который тоже прямоугольник). У прямоугольника все углы прямые, а диагональ разбивает его на два прямоугольных треугольника, в которых стороны - катеты, а диагональ - гипотенуза.

2. Ромб. Если видишь: "Дан параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны" или "диагонали являются биссектрисами его углов" - перед тобой ромб. У ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

ВАЖНОЕ

Свойства диагоналей ромба

Диагонали ромба $d_{1}$ и $d_{2}$ пересекаются под углом $9 0^{\circ}$ и точкой пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d _{1}}{2}$ и $\frac{d _{2}}{2}$ и гипотенузой $a$ (сторона ромба):

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

3. Равнобедренная трапеция. Это трапеция, у которой боковые стороны равны. Её главная "фишка" - две высоты, опущенные из верхних вершин на нижнее основание.

ВАЖНОЕ

Отрезки на основании равнобедренной трапеции

Если в равнобедренной трапеции с основаниями $a$ (верхнее) и $b$ (нижнее) провести две высоты, то они отсекут на нижнем основании:

по краям два одинаковых отрезка, равных $\frac{b - a}{2}$
по центру отрезок, равный верхнему основанию $a$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на четырёхугольники

1. Внимательно прочитай описание фигуры. Если написано про "равные диагонали" или "перпендикулярные диагонали" - переведи это в название (прямоугольник или ромб).
2. Нарисуй крупный чертёж. Отметь всё, что дано в условии: длины сторон, равные и прямые углы, диагонали.
3. Выбери стратегию. Ищут площадь - используй формулу для нужной фигуры. Ищут сторону, диагональ или периметр - строй прямоугольный треугольник.
4. Сделай дополнительное построение. Проведи диагонали или опусти высоты (особенно в трапеции).
5. Примени теорему Пифагора или свойства углов ( $3 0^{\circ},$ $4 5^{\circ}$ ), чтобы найти недостающую длину.

Примеры решения

Разберём три задачи в стиле задач из банка ЕГЭ-база - от простого применения формулы до двухходовой задачи на трапецию.

ПРИМЕР 1

Крышка коробки-параллелограмма

Условие:
Ты собираешь подарочную коробку в форме параллелограмма. Известно, что диагонали крышки равны $10$ см и $24$ см и пересекаются под прямым углом. Какой длины нужна тесьма, чтобы пустить её ровно по краю крышки?

ПРИМЕР 2

Скошенная стенка шкафа

Условие:
Лицевая стенка шкафа - прямоугольник с диагональю $25$ см. Одна из сторон равна $7$ см. Какой высоты получится этот шкаф?

ПРИМЕР 3

Диагональ садового участка-трапеции

Условие:
Садовый участок имеет форму равнобедренной трапеции. Параллельные стороны равны $30$ м и $40$ м, а боковая сторона $13$ м. Какой длины нужен трос, чтобы натянуть его по диагонали от одного угла участка до противоположного?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отрезки в прямоугольной трапеции

Ошибка: Применять формулу отрезков $\frac{b - a}{2}$ к прямоугольной или произвольной трапеции.

Правильно: Эта формула работает ТОЛЬКО для равнобедренной трапеции. В прямоугольной трапеции одна высота совпадает с боковой стороной, а вторая высота отсекает кусок, равный $b - a .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с катетом и гипотенузой

Ошибка: При поиске стороны прямоугольника (как в Примере 2) складывать квадраты диагонали и стороны: $2 5^{2} + 7^{2} .$

Правильно: Диагональ в прямоугольнике - это всегда самая длинная линия, то есть гипотенуза. Сторону (катет) нужно искать вычитанием: $2 5^{2} - 7^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Площадь ромба через сторону и диагональ

Ошибка: Считать площадь ромба как $a \cdot d$ (сторона на диагональ).

Правильно: Формула площади ромба через диагонали - $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2},$ в числителе произведение обеих диагоналей, а не стороны. Либо используй универсальную $S = a \cdot h,$ но тогда нужна именно высота ромба, а не диагональ.

Что запомнить

Параллелограмм с равными диагоналями = прямоугольник. Сторону ищем по теореме Пифагора через диагональ и вторую сторону.
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (или с диагоналями-биссектрисами) = ромб. Сторона - гипотенуза треугольника с катетами $\frac{d _{1}}{2}$ и $\frac{d _{2}}{2} .$
В равнобедренной трапеции опускай две высоты. Они отрезают по краям кусочки, равные $\frac{нижнее - верхнее}{2} .$
Площади: $S_{парал} = ah,$ $S_{ромб} = \frac{d _{1} d _{2}}{2},$ $S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h .$
Теорема Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ - главный инструмент во всём задании 12.

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около 8 минут на задачу.
Приоритет: геометрия базового уровня вполне по силам каждому. Не пропускай это задание, даже если с геометрией в школе были проблемы.
Обязательное действие: не решай в уме. Начерти фигуру в черновике, подпиши все известные числа - нужный прямоугольный треугольник станет виден сам.
Проверка: если по теореме Пифагора корень не извлекается ровно, стоит проверить, не спутаны ли катет и гипотенуза, и воспользоваться таблицей квадратов из справочных материалов. Ответ в задании 12 - это всегда целое число или простая дробь.

Проверь себя0 из 4

1.У параллелограмма диагонали равны. Какая это фигура?

2.Диагонали ромба равны

6

8 .

Чему равна сторона ромба?

3.Чему равна площадь трапеции с основаниями

6

10

и высотой

4 ?

4.В равнобедренной трапеции основания равны

30

40 .

Какой отрезок отсекает высота на нижнем основании у края?