Анализ утверждений — ЕГЭ база

Анализ утверждений (Задание 8)

В этом задании проверяется твоё умение мыслить логически, анализировать тексты и делать правильные выводы из заданных условий. Здесь нет сложных уравнений или громоздких вычислений. Это чисто житейская логика, базовое понимание того, как устроены множества, и умение работать с конструкциями «если..., то...».

Суть темы

Все задачи этого типа можно условно разделить на три группы:

1. Задачи на сравнение. Сюжеты про рост, вес, возраст, количество медалей. Кто-то выше, кто-то ниже.
2. Задачи на множества (пересечения). Сюжеты про группы людей или предметов. Например: «в классе 30 человек, 20 любят чай, 15 любят кофе».
3. Задачи на логическое следование. Сюжеты со строгим правилом. Например: «все машины тяжелее 3 тонн имеют полный привод».

Для успешного решения нужно уметь переводить текстовые условия в наглядные схемы.

Ключевые логические факты

ВАЖНОЕ

Контрапозиция: «Если А, то Б»

Если истинно «Если $A,$ то $B$ », то истинна и контрапозиция: «Если $B ˉ,$ то $A ˉ$ ».

(A ⟹ B) ⟺ (B ˉ ⟹ A ˉ)

Нельзя делать обратный вывод «Если $B,$ то $A$ » - это самая частая ловушка.

Пример: «Если идёт дождь ( $A$ ), то асфальт мокрый ( $B$ )».
Верный вывод: «Если асфальт сухой ( $B ˉ$ ), то дождя нет ( $A ˉ$ )».
Неверный вывод: «Если асфальт мокрый, то идёт дождь» (его могла полить машина).

Для задач на пересечение групп (множеств) удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Венна) и формулы крайних случаев.

ВАЖНОЕ

Границы пересечения двух множеств

Пусть всего $N$ элементов, группа $A$ содержит $a,$ группа $B$ содержит $b .$ Количество элементов в пересечении $A \cap B :$

max ∣ A \cap B ∣ = min (a, b)

min ∣ A \cap B ∣ = max (0, a + b - N)

Максимум равен размеру меньшей группы. Минимум равен $(a + b) - N;$ если эта разность меньше нуля, то минимум равен $0$ (группы могут не пересекаться вообще).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как анализировать утверждения

1. Визуализируй условие. Нарисуй числовую ось (для роста/возраста) или пересекающиеся круги (для множеств). Если есть правило «если-то», запиши его коротко со стрелочкой ( $⟹$ ).
2. Проверяй утверждения по одному. Читай первое утверждение и пытайся найти ситуацию, при которой оно окажется неверным (ищи контрпример). Если удалось найти хоть один случай, когда оно ложно - смело вычёркивай.
3. Обращай внимание на слова-маркеры. Слова «каждый», «все», «любой», «ни одного» делают утверждение жёстким (его легко опровергнуть). Слова «найдётся», «хотя бы один», «некоторые» делают утверждение мягким (его легко подтвердить).
4. Собери ответ. Выпиши номера верных утверждений подряд, без пробелов и запятых.

Примеры решения

Ниже - три типичных сюжета от простого к сложному.

ПРИМЕР 1

Задачи на сравнение

Условие:
Олег выше Ромы, но ниже Максима. Дима ниже Ромы. Выбери все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. Максим - самый высокий из всех четверых мальчиков.
2. Дима выше Олега.
3. Любой мальчик (помимо указанных), который выше Ромы, также выше Димы.
4. Олег и Дима одного роста.

ПРИМЕР 2

Логическое следование

Условие:
На автомобильной парковке действует правило: на всех местах с номерами от $50$ до $100$ могут парковаться только автомобили массой более $2, 5$ тонн. Выбери утверждения, которые верны при приведённом условии.

1. Если автомобиль имеет массу $1, 8$ тонны, то он не припаркован на месте № 75.
2. Если на парковке стоит автомобиль массой $3$ тонны, то он обязательно припаркован на месте № 80.
3. Если автомобиль припаркован на месте № 60, то его масса превышает $2, 5$ тонны.
4. Если автомобиль имеет массу $2$ тонны, то он может быть припаркован на месте № 90.

ПРИМЕР 3

Пересечение множеств

Условие:
В параллели 11-х классов учится $80$ человек. Известно, что $60$ учеников сдают ЕГЭ по обществознанию, а $30$ учеников сдают ЕГЭ по информатике. Выбери все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. Если ученик сдаёт обществознание, то он обязательно сдаёт информатику.
2. Найдётся хотя бы $10$ учеников, которые сдают и обществознание, и информатику.
3. Не более $30$ учеников сдают и обществознание, и информатику.
4. В параллели нет ни одного ученика, который сдаёт оба этих предмета.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали направление логического следствия

Ошибка: Делать обратный вывод из правила. Дано: «Все собаки любят мясо». Утверждение: «Если животное любит мясо, то это собака». Ученик отмечает это как верное.

Правильно: Правило работает строго в одну сторону. Волк тоже любит мясо, но он не собака. Верным было бы обратное следствие: «Если животное НЕ любит мясо, то это точно НЕ собака».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Игнорирование крайних случаев во множествах

Ошибка: В задачах про множества считать, что группы всегда пересекаются, или наоборот, никогда не пересекаются, опираясь на интуицию.

Правильно: Всегда просчитывай минимальное и максимальное пересечение по формуле. Только числа покажут, могут ли группы не пересекаться вообще или обязаны иметь общих участников.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Все» и «хотя бы один» - разные по силе

Ошибка: Принять утверждение «Все $X$ обладают свойством $P$ » верным, потому что так обычно бывает, а пример с контрпримером пропустить.

Правильно: Утверждения со словами «все», «каждый», «любой», «ни один» падают от одного контрпримера. А утверждения со словами «хотя бы один», «некоторые», «найдётся» верны, если удалось построить хотя бы одну подходящую ситуацию. Всегда оценивай силу утверждения перед проверкой.

Что запомнить

Нарисуй схему. Для роста/веса/возраста - ось и точки на ней. Для множеств - пересекающиеся круги (диаграммы Венна).
Ищи контрпример. Пытайся сломать утверждение. Если удалось придумать ситуацию, при которой оно ложно (не нарушая исходного условия), значит, утверждение неверное.
Максимум и минимум пересечения. Для двух множеств максимум равен размеру меньшей группы. Минимум равен $сумма групп - всего участников$ (если отрицательное - значит $0$ ).
Слова-маркеры. Слова «любой», «каждый», «все» требуют абсолютной уверенности - их легче опровергнуть одним контрпримером. Слова «хотя бы один», «некоторые», «найдётся» требуют всего один возможный вариант - их легче подтвердить.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: Около 8 минут. Не торопись, это задача на внимательность.
Приоритет: Можно решать в любой момент. Задача отлично «переключает» мозг после алгебры.
Проверка: Перечитай утверждения, которые ты отметил как верные, и мысленно спроси себя: «А может ли быть иначе?». Если ответ «нет, железно так» - записывай в бланк.
Формат ответа: Записывай цифры подряд (например, 14 или 23), без запятых. Порядок цифр не важен, 32 и 23 оцениваются одинаково, но лучше писать по возрастанию.

Проверь себя0 из 4

1.Дано правило: «Если идёт дождь, то асфальт мокрый». Какой вывод верный?

2.В классе

30

человек,

20

любят чай,

18

любят кофе. Каков минимум тех, кто любит и чай, и кофе?

3.Чему равен максимум пересечения двух групп из

a

b

человек?

4.Как опровергнуть утверждение со словом «все» («все ученики выше Димы»)?