Анализ утверждений (Задание 8)
Задание 8 базового ЕГЭ по математике проверяет умение логически мыслить и анализировать жизненные ситуации. Это одно из самых "житейских" заданий экзамена: здесь почти не нужно считать, зато нужно очень внимательно читать условия.
Ответ - последовательность цифр (номера верных утверждений), записанная в бланк без пробелов и запятых.
Какие темы встречаются
В этом задании нет сложных логических формул. Все задачи строятся вокруг трёх основных сюжетов:
- Числовые промежутки и ограничения: даны границы размеров, веса, количества (например, "все рыбки от 3 до 13 см").
- Сравнение величин: кто выше, что тяжелее, у кого больше этажей.
- Множества и пересечения: логика принадлежности ("все отличники играют в шахматы, а некоторые шахматисты любят петь").
Общий алгоритм решения
Главное правило задания 8: утверждение считается верным только если оно выполняется всегда (при любых раскладах, подходящих под условие). Если утверждение может быть верным, а может и нет - такое утверждение признаётся неверным.
ВАЖНОЕ
Критерий истинности утверждения
Утверждение верно⟺нет контрпримера, удовлетворяющего условиюВторая полезная идея - связь слов-кванторов: "все" и "существует". Если исходное утверждение начинается со слова "все", то для опровержения достаточно одного контрпримера. Если же утверждение говорит "существует" (или "хотя бы один"), то для опровержения нужно исключить все варианты.
ВАЖНОЕ
Отрицания кванторов
¬(все X)⟺(хотя бы один не X)¬(существует X)⟺(ни один не X)АЛГОРИТМ
Алгоритм анализа утверждений
1. Прочитай условие и нарисуй схему. Переведи текст в картинку: нарисуй числовую ось, расставь людей по росту или набросай диаграмму. Это разгрузит мозг.
2. Проверяй утверждения строго по одному. Закрой остальные рукой, чтобы не отвлекаться.
3. Ищи контрпример для сомнительных пунктов. Попробуй придумать такую ситуацию, которая подходит под условие задачи, но ломает утверждение. Получилось? Значит, утверждение неверное.
4. Следи за словами-маркерами. Слова "все", "любой", "каждый" делают утверждение жёстким. Слова "найдётся", "существует", "хотя бы один" - мягким.
5. Запиши ответ. Выпиши номера верных пунктов подряд, без пробелов (например, 14 или 23).
Примеры решения
Посмотри два частых типа задач, каждый с собственным подходом к визуализации.
ПРИМЕР 1
Заданные границы (ограничения)
Условие:
В ящике лежат 40 яблок. Масса каждого яблока больше 100 г, но не превышает 150 г. Выбери все утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) В этом ящике нет яблока массой 160 г.
2) Десять яблок в этом ящике весят меньше 100 г.
3) Разница в массе любых двух яблок не больше 50 г.
4) Масса каждого яблока больше 110 г.
ПРИМЕР 2
Сравнение величин (возраст)
Условие:
Известно, что Антон старше Бориса, но младше Виктора. При этом Гриша старше Антона. Выбери все утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Борис - самый младший из этих четырёх мальчиков.
2) Гриша - самый старший из этих четырёх мальчиков.
3) Виктор старше Бориса.
4) Антон и Гриша могут быть одного возраста.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница "может быть" и "обязательно"
Ошибка: Считать утверждение верным, если придумалась хотя бы одна ситуация, когда оно работает. Как во втором примере: "Ну Гриша же может быть самым старшим, почему неверно?".
Правильно: Утверждение верно, только если оно выполняется во всех случаях, подходящих под условие. Если есть хотя бы одна ситуация-исключение (Грише 15, а Виктору 18) - пункт бракуется.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Невнимательность к отрицаниям и кванторам
Ошибка: Пропустить частицу "не" или слабое слово "некоторые" в утверждении. При быстром чтении мозг заменяет "некоторые" на "все" и наоборот.
Например, "В ящике нет яблока массой 160 г" читают как "В ящике есть яблоко..." и ставят неверный знак.
Правильно: Выделяй ручкой в КИМе все частицы "не" и слова-маркеры: "каждый", "ни один", "все", "любой" (жёсткие) против "найдётся", "некоторые", "хотя бы один" (мягкие).
Что запомнить
- Переводи текстовое условие в схему: числовая ось для промежутков, ось "меньше-больше" для сравнений, диаграмма Венна для множеств.
- Верное утверждение не имеет исключений. Если есть контрпример - утверждение ложное.
- Слова-маркеры: "все", "каждый", "любой" - жёсткие; "некоторые", "хотя бы один", "найдётся" - мягкие.
- Внимательно читай "не более" (⩽), "менее" (<), "больше" (>), "не менее" (⩾).
- Ответ - цифры без пробелов. Порядок не важен, но удобнее писать по возрастанию.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия
- Время выполнения: около 8 минут.
- Приоритет: задание первой половины экзамена. Решай его в начале, оно хорошо "разогревает" логику и не требует знания сложных формул.
- Проверка: после выбора верных пунктов пробегись глазами по отбракованным и для каждого придумай явный контрпример. Если контрпример не придумывается - возможно, утверждение на самом деле верное, и его стоит вернуть в ответ.
Проверь себя0 из 4
1.Когда утверждение в задании 8 считается верным?
2.Что достаточно найти, чтобы опровергнуть утверждение со словом "все"?
3.Масса каждого яблока m удовлетворяет 100<m⩽150 (в граммах). Какое утверждение гарантированно верно?
4.Известно: Борис < Антон < Виктор и Антон < Гриша. Что точно следует из условия?