Суть темы
В задании 7 ЕГЭ-база часто дают готовый график функции и задают вопросы о её поведении: чему равно значение в конкретной точке, на каком промежутке функция возрастает или убывает, где достигает наибольшего значения. Это задачи из жизни: график температуры воздуха по часам, курс доллара по дням, скорость автомобиля во время поездки.
Чтобы решать такие задачи, не нужны формулы. Достаточно уметь читать график: находить точки на осях и понимать, куда движется линия - вверх или вниз.
Как устроен график
На координатной плоскости две оси. По горизонтали (ось Ox) — независимая величина: время, день недели, номер часа. По вертикали (ось Oy) — зависимая: температура, курс, скорость. Каждая точка графика связывает пару "аргумент - значение".
ВАЖНОЕ
Чтение значения функции
Чтобы найти y при известном x:
1. Отметь точку x на горизонтальной оси.
2. Поднимись (или опустись) вертикально до пересечения с графиком.
3. Из точки пересечения проведи горизонталь к оси Oy и прочитай число.
ВАЖНОЕ
Возрастание и убывание
Функция возрастает на промежутке, если при движении слева направо линия графика идёт вверх.
Функция убывает, если линия графика идёт вниз.
В точках "перелома" (локальные максимумы и минимумы) возрастание сменяется убыванием — это границы промежутков.
Алгоритм решения
АЛГОРИТМ
Алгоритм работы с графиком
1. Прочитай подписи осей. Что отложено по Ox (часы, дни, километры) и что по Oy (температура, курс, высота). От этого зависит смысл ответа.
2. Определи цену деления. Сколько единиц в одной клетке по каждой оси. Если по Oy шаг 2, а клеток между 0 и нужной точкой 3, то значение — 6.
3. Найди нужную точку. Для вопроса "сколько было в момент x" — вертикаль от x до графика, потом горизонталь к Oy.
4. Для промежутков посмотри, где линия идёт вверх (возрастание) и где вниз (убывание). Границы — точки максимума и минимума.
5. Запиши ответ в нужных единицах. Целое число или простая десятичная дробь.
Примеры решения
ПРИМЕР 1
Чтение значения по графику температуры
Условие:
На рисунке показана температура воздуха в течение суток в некотором городе. По горизонтали отложены часы (от 0 до 24), по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определи температуру в 15 часов.
Решение:
1. На оси Ox находим отметку 15.
2. Поднимаемся вверх до графика.
3. От точки на графике проводим горизонталь к оси Oy. Горизонталь попадает в отметку 16.
Ответ: 16
ПРИМЕР 2
Промежуток возрастания по курсу валюты
Условие:
На графике показан курс евро к рублю за 7 дней недели (с понедельника по воскресенье). По горизонтали — день недели (числа от 1 до 7), по вертикали — курс в рублях. Найди наибольшее количество дней подряд, в течение которых курс не убывал.
ПРИМЕР 3
Наибольшая скорость и промежутки монотонности
Условие:
На графике показана зависимость скорости автомобиля (в км/ч) от времени (в минутах) во время получасовой поездки. Определи:
а) какую наибольшую скорость развивал автомобиль;
б) в течение скольких минут подряд скорость только росла (до момента, когда впервые начала снижаться).
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница осей
Ошибка: вопрос "при каком x значение равно 5" ученик читает как "чему равен y при x=5" и смотрит не в ту сторону.
Правильно: если задан y и ищется x, двигайся от нужной отметки на оси Oy сначала горизонтально до графика, потом вертикально вниз к оси Ox. Порядок "горизонталь — вертикаль" обратный к стандартному.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Возрастание = положительные значения
Ошибка: линия графика идёт под отметкой 0, но всё равно поднимается вверх. Ученик пишет, что функция убывает, потому что "значения отрицательные".
Правильно: возрастание зависит только от направления линии, а не от её положения относительно оси Ox. Если температура растёт с −5∘ до −1∘ — функция возрастает, хотя значения остаются отрицательными.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Неверная цена деления
Ошибка: по клеткам насчитали 4 клетки до точки, а шаг по оси 2, и получили ответ 4 вместо 8.
Правильно: перед чтением значений всегда смотри, какие числа подписаны на осях рядом с клетками. Цена деления = (разница двух соседних подписей) ÷ (число клеток между ними).
Что запомнить
- График — это пары "аргумент x — значение y". Читай по порядку "вертикаль к графику, потом горизонталь к оси".
- Функция возрастает, если линия идёт вверх слева направо. Убывает — если вниз.
- Наибольшее значение — самая высокая точка. Наименьшее — самая низкая.
- Знак значения (y>0 или y<0) и направление графика (вверх или вниз) — разные вещи. Функция может расти и при отрицательных значениях.
- Всегда проверяй цену деления по осям перед тем, как записать ответ.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия
- Время выполнения: 5-7 минут. Одно из самых быстрых заданий номера 7.
- Приоритет: высокий. Балл даётся почти без вычислений. Решай в первой трети экзамена.
- Работа с черновиком: обведи карандашом нужную точку на оси Ox и проведи пунктир до графика. Так меньше шансов сбиться с вертикали.
- Проверка: если ответ — значение функции, подставь обратно: при твоём x линия графика должна проходить именно через найденную высоту.
- Запись в бланк: если в условии "градусы Цельсия", "рубли", "км/ч" — в бланк пиши только число без единиц. Отрицательные значения записываются со знаком минус.
Проверь себя0 из 4
1.Функция возрастает на промежутке. Как ведёт себя линия графика при движении слева направо?
2.Температура менялась с −5∘ до −1∘. Что верно про функцию температуры на этом участке?
3.По оси Oy шаг одной клетки равен 2, а между 0 и нужной точкой графика 3 клетки. Чему равно значение?
4.Задан y, требуется найти x. В каком порядке двигаться по графику?