Задача №09156

У куба изначально 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

При отпиливании всех вершин куба:
1. Каждое из 12 исходных рёбер куба укорачивается, но сохраняется, образуя 12 рёбер нового многогранника.
2. Вместо каждой из 8 отпиленных вершин образуется новая треугольная грань. Каждая такая грань имеет 3 ребра. Поскольку срезы не пересекаются, эти треугольники не имеют общих рёбер. Это даёт нам ещё $8\times 3=24$ новых ребра.

Таким образом, общее количество рёбер получившегося многогранника равно:

$$12+24=36.$$

Альтернативный способ (через формулу Эйлера):

Формула Эйлера для выпуклых многогранников:

$$V-E+F=2$$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.

1. Каждая из 8 отпиленных вершин заменяется на 3 новые вершины. Итого вершин:

$$V=8\times 3=24$$

2. Исходные 6 граней куба сохраняются (становятся восьмиугольниками), и добавляются 8 новых треугольных граней на месте отпиленных вершин. Итого граней:

$$F=6+8=14$$

3. Найдём количество рёбер $E\text{:}$

$$24-E+14=2\Rightarrow E=36.$$

Ответ: 36