Задача №08650

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Обозначим размеры сторон малых прямоугольников следующим образом:

• Пусть $x$ — высота верхних прямоугольников, а $y$ — высота нижних прямоугольников;
• Пусть $a$ — ширина левых прямоугольников, а $b$ — ширина правых прямоугольников.

Тогда периметры прямоугольников выражаются формулами:

• Левый верхний: $P_1=2(a+x)=3\text{;}$
• Правый верхний: $P_2=2(b+x)=7\text{;}$
• Правый нижний: $P_3=2(b+y)=8\text{;}$
• Левый нижний: $P_4=2(a+y)$ — искомый периметр.

Сложим периметры противоположных по диагонали прямоугольников:

Отсюда следует равенство:

Подставим известные значения в полученное соотношение:

Таким образом, периметр четвертого прямоугольника равен 4.