Задача №08614

В фирме работает 100 человек, из них 70 человек знают португальский язык, а 50 — французский. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) В этой фирме хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки.
2) Нет ни одного человека в этой фирме, знающего и португальский, и французский языки.
3) Если человек из этой фирмы знает португальский язык, то он знает и французский.
4) Не более 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Всего 100 человек. Португальский (П) = 70. Французский (Ф) = 50.

Используем формулу включения-исключения:

$$|П\cup Ф|⩽100$$

где $|П|=70\text{,}$ $|Ф|=50\text{,}$ и пусть $x=|П\cap Ф|\text{.}$ Тогда

$$70+50-x⩽100$$ $$120-x⩽100\Rightarrow x⩾20.$$

Значит, хотя бы 20 человек знают оба языка.

Также, поскольку пересечение не может превышать минимальное из множеств,

$$x⩽\min (70,50)=50.$$

Анализ утверждений:

1) В этой фирме хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки.
Так как $x⩾20\text{,}$ утверждение верно.

2) Нет ни одного человека в этой фирме, знающего и португальский, и французский языки.
Так как $x⩾20\text{,}$ утверждение неверно.

3) Если человек из этой фирмы знает португальский язык, то он знает и французский.
Это не обязательно: например, если $x=20\text{,}$ то 50 человек знают только португальский. Утверждение неверно.

4) Не более 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки.
Так как $x⩽50\text{,}$ утверждение верно.

Верные утверждения: 1 и 4.