Задача №08502

Повар испёк 50 рогаликов, из них 15 рогаликов он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал сахаром. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны.
2) Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей.
3) Не может оказаться больше 16 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.
4) Найдётся 18 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пусть $x$ — количество рогаликов, посыпанных и корицей, и сахаром. Тогда:

• только корицей: $15-x\text{,}$
• только сахаром: $20-x\text{,}$
• посыпаны и тем и другим: $x\text{.}$

Общее количество рогаликов:

$$(15-x)+(20-x)+x+\text{ничем не посыпаны}=50.$$

Отсюда количество ничем не посыпанных:

$$50-(15-x+20-x+x)=50-(35-x)=15+x.$$

Так как $x$ — целое число, $0⩽x⩽15$ (потому что корицей посыпано 15 рогалико

в).

Проверим утверждения:
1) "Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны." Количество ничем не посыпанных равно $15+x\text{.}$ При любом $x$ из допустимого диапазона $15+x⩾15\text{,}$ поэтому всегда есть не менее 15 таких рогаликов. Следовательно, утверждение верно.
2) "Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей." Это неверно, так как могут существовать рогалики, посыпанные только сахаром (например, если $x<20\text{,}$ то $20-x>0$).
3) "Не может оказаться больше 16 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей." Поскольку $x⩽15\text{,}$ то $x$ не может быть больше 15, тем более больше 16. Утверждение верно.
4) "Найдётся 18 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей." Максимально возможное значение $x$ равно 15, поэтому 18 рогаликов, посыпанных и тем и другим, быть не может. Утверждение неверно.

Ответ: 1 и 3.