Задача №10793

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=33$ и $AD=77\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AB=CD=33$ и $AD=BC=77\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $B$ равен $90^{\circ }\text{,}$ так как $ABCD$ — прямоугольник). По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ то:

Так как углы при основании $AE$ равны, треугольник $ABE$ является равнобедренным, следовательно, $BE=AB=33\text{.}$

Найдем длину отрезка $EC\text{.}$ Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ (угол $C$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Ответ: 55.