Задача №08497

Некоторые учащиеся 10-х классов школы ходили в ноябре на оперу «Евгений Онегин». В марте некоторые десятиклассники этой школы пойдут на оперу «Руслан и Людмила», причём среди них не будет тех, кто ходил в ноябре на оперу «Евгений Онегин». Выберите все утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, кто из десятиклассников пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».

1. Каждый учащийся 10-х классов, который не ходил на оперу «Евгений Онегин», пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».
2. Нет ни одного десятиклассника, который ходил на оперу «Евгений Онегин» и пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».
3. Найдётся десятиклассник, который не ходил на оперу «Евгений Онегин» и не пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».
4. Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не пойдут на оперу «Руслан и Людмила», есть хотя бы один, который ходил на оперу «Евгений Онегин».

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Обозначим:

• Множество десятиклассников, которые ходили в ноябре на оперу «Евгений Онегин», — $O\text{.}$
• Множество десятиклассников, которые пойдут в марте на оперу «Руслан и Людмила», — $R\text{.}$

Из условия:

• $O\ne \varnothing$ (некоторые ходили на $O$),
• $R\ne \varnothing$ (некоторые пойдут на $R$),
• Среди идущих на $R$ не будет тех, кто ходил на $O\text{,}$ т.е. $O\cap R=\varnothing \text{.}$

Проверим утверждения:

1. «Каждый учащийся 10-х классов, который не ходил на оперу «Евгений Онегин», пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».»
Неверно. Условие гарантирует, что некоторые неходившие на $O$ пойдут на $R$ (поскольку $R$ не пусто и состоит из неходивших на $O$), но не требует, чтобы все неходившие на $O$ пошли на $R\text{.}$ Могут существовать десятиклассники, которые не ходили на $O$ и не пойдут на $R\text{.}$

2. «Нет ни одного десятиклассника, который ходил на оперу «Евгений Онегин» и пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».»
Верно. Это прямо следует из условия: $O\cap R=\varnothing \text{.}$

3. «Найдётся десятиклассник, который не ходил на оперу «Евгений Онегин» и не пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».»
Не обязательно верно. Например, если все десятиклассники, которые не ходили на $O\text{,}$ пойдут на $R\text{,}$ то такого десятиклассника не найдётся. Условие этого не запрещает.

4. «Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не пойдут на оперу «Руслан и Людмила», есть хотя бы один, который ходил на оперу «Евгений Онегин».»
Верно. Поскольку $O\ne \varnothing$ и все элементы $O$ не входят в $R$ (из условия), то каждый, кто ходил на $O\text{,}$ не пойдёт на $R\text{.}$ Значит, в множестве не пойдущих на $R$ содержится хотя бы один из $O$ (так как $O\ne \varnothing$).

Ответ: 24