Задача №08470

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$

В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

1. $0,5$
2. $-0,7$
3. $4$
4. $-3$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс):

$$f^{\prime }(x_0)=k=\mathrm{tg}\alpha .$$

Из этого свойства следуют два правила:
1. Если касательная возрастает (направлена снизу вверх слева направо), то угол наклона острый, тангенс положителен, и производная в этой точке положительна ($f^{\prime }(x)>0$). Чем круче идёт касательная вверх, тем больше значение производной.
2. Если касательная убывает (направлена сверху вниз слева направо), то угол наклона тупой, тангенс отрицателен, и производная в этой точке отрицательна ($f^{\prime }(x)<0$). Чем круче идёт касательная вниз, тем меньше значение производной (больше по модулю).

Рассмотрим каждую точку:

• В точке $A$ касательная убывает очень круто. Значит, значение производной отрицательное и наибольшее по модулю. Из отрицательных чисел $-0,7$ и $-3$ более крутому спуску соответствует число $-3$ (вариант 4). Таким образом, точке $A$ соответствует значение $-3\text{.}$
• В точке $B$ касательная возрастает очень круто. Значит, значение производной положительное и наибольшее. Из положительных чисел $0,5$ и $4$ более крутому подъёму соответствует число $4$ (вариант 3). Таким образом, точке $B$ соответствует значение $4\text{.}$
• В точке $C$ касательная возрастает полого. Значит, значение производной положительное и небольшое по величине. Это число $0,5$ (вариант 1). Таким образом, точке $C$ соответствует значение $0,5\text{.}$
• В точке $D$ касательная убывает полого. Значит, значение производной отрицательное и небольшое по модулю. Это число $-0,7$ (вариант 2). Таким образом, точке $D$ соответствует значение $-0,7\text{.}$

Запишем соответствие для точек $A,B,C,D$ в таблицу:

Получаем последовательность цифр: 4312.

Ответ: 4312.