Задача №08422

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$

В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

А) $A$
Б) $B$
В) $C$
Г) $D$

$$1)-4$$ $$2)0,2$$ $$3)-0,2$$ $$4)1,5$$

В ответе запишите цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: АБВГ.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке (тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$).

1) Если касательная возрастает (наклонена снизу вверх, слева направо), то производная в этой точке положительна. Чем круче наклон касательной, тем больше значение производной.
2) Если касательная убывает (наклонена сверху вниз, слева направо), то производная в этой точке отрицательна. Чем круче наклон вниз, тем меньше значение производной (больше по модулю).

Проанализируем касательные в заданных точках:

• В точках $A$ и $D$ касательные возрастают, следовательно, производные в них положительны. Доступные положительные значения: $0,2$ и $1,5\text{.}$ Касательная в точке $A$ наклонена значительно круче, чем в точке $D\text{.}$ Значит, производная в точке $A$ равна $1,5$ (вариант 4), а в точке $D$ равна $0,2$ (вариант 2).
• В точках $B$ и $C$ касательные убывают, следовательно, производные в них отрицательны. Доступные отрицательные значения: $-4$ и $-0,2\text{.}$ Касательная в точке $C$ наклонена очень круто, а в точке $B$ — очень полого. Значит, производная в точке $C$ равна $-4$ (вариант 1), а в точке $B$ равна $-0,2$ (вариант 3).

Запишем соответствие:

• $A$ — 4
• $B$ — 3
• $C$ — 1
• $D$ — 2

Таким образом, получаем последовательность цифр: 4312.