Тригонометрические уравнения — ДВИ

База: простейшие уравнения и частные случаи

Решение любого тригонометрического уравнения на ДВИ сводится к преобразованию сложного выражения в одно или несколько простейших. На экзамене не выдают справочных материалов, поэтому базовые формулы необходимо знать наизусть.

ВАЖНОЕ

Простейшие тригонометрические уравнения

sin x = a ⟺ x = (- 1)^{n} arcsin a + π n, n \in Z (∣ a ∣ ⩽ 1)

cos x = a ⟺ x = \pm arccos a + 2 π n, n \in Z (∣ a ∣ ⩽ 1)

t g x = a ⟺ x = arct g a + π n, n \in Z

ct g x = a ⟺ x = arcct g a + π n, n \in Z

Если $∣ a ∣ > 1,$ уравнения для синуса и косинуса не имеют решений (пиши $x \in \emptyset$ ). Для граничных и нулевых значений (частных случаев) принято использовать более короткие записи серий корней, чтобы не плодить громоздкие выражения с арксинусами.

ВАЖНОЕ

Частные случаи (обязательно выучить)

sin x = 0 ⟺ x = π n; sin x = 1 ⟺ x = \frac{π}{2} + 2 π n; sin x = - 1 ⟺ x = - \frac{π}{2} + 2 π n

cos x = 0 ⟺ x = \frac{π}{2} + π n; cos x = 1 ⟺ x = 2 π n; cos x = - 1 ⟺ x = π + 2 π n

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак у арккосинуса и арксинуса при отрицательном аргументе

Единичная окружность с выделенной верхней полуокружностью —

Ошибка: при

a < 0

написать

arccos a

так, будто это угол первой четверти. На самом деле

arccos

отрицательного числа лежит во второй четверти.
Правильно, помни:

arccos (- a) = π - arccos a

arcsin (- a) = - arcsin a,

arct g (- a) = - arct g a .

Например,

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3},

а не

\frac{π}{3} .

Перепутав это, легко сместить весь ответ на не ту дугу.

Рабочие формулы (учить наизусть — листа не выдают)

ДВИ проходит без справочных материалов, а методы ниже постоянно опираются на формулы приведения, двойного/тройного угла и понижения степени. Поэтому сначала сведём в один блок весь инструментарий, который дальше используется в методах и примерах. Детальные выводы и таблицу значений — см. справочник, раздел «Тригонометрия»; здесь — рабочий минимум.

ВАЖНОЕ

Основные тождества

sin^{2} x + cos^{2} x = 1, 1 + t g^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}, 1 + ct g^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}, t g x \cdot ct g x = 1

ВАЖНОЕ

Сложение, двойной и тройной угол

sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y, cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y

sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1, t g 2 x = \frac{2 t g x}{1 - t g ^{2} x}

sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x, cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

ВАЖНОЕ

Понижение степени и половинный угол

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}, t g \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos x}{sin x}

✓СОВЕТ

Формулы приведения — правило, а не зубрёжка

Любой угол вида $\frac{π}{2} \cdot k \pm x$ приводится к функции от $x$ по двум вопросам: (1) меняется ли имя функции — да, если $k$ нечётное ( $sin \leftrightarrow cos,$ $t g \leftrightarrow ct g$ ); нет, если $k$ чётное; (2) какой знак — определяется по четверти, в которую попадает $\frac{π}{2} \cdot k \pm x$ при остром $x .$ Например, $cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin x,$ $sin (π + x) = - sin x,$ $t g (\frac{π}{2} + x) = - ct g x .$

Пять основных методов решения

На вступительных экзаменах МГУ почти каждое тригонометрическое уравнение укладывается в один из пяти стандартных методов (или их комбинацию). Главная цель первого шага — свести все углы к одному аргументу с помощью формул двойного/тройного угла и формул приведения. Ниже — пять «школьных» методов, а в следующем разделе — два метода уровня сильного ДВИ (универсальная подстановка и метод оценок), без которых решается не всякая мехматовская задача.

1. Сведение к квадратному уравнению

Применяется, когда уравнение содержит одну функцию (или легко к ней сводится). Используй основное тригонометрическое тождество $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ или формулу $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 .$

Сделай замену (например, $t = sin x$ ). Важно: для синуса и косинуса сразу указывай ограничение $∣ t ∣ ⩽ 1 .$ Полученный корень $t,$ не удовлетворяющий этому условию, отбрасывается без вычислений.

ПРИМЕР 1А

Сведение к квадратному (метод 1)

Реши уравнение $2 cos^{2} x + sin x - 1 = 0 .$

2. Группировка и разложение на множители

Если уравнение содержит несколько разных функций или степеней, перенеси все слагаемые в левую часть и попробуй разложить её на множители. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (при условии, что остальные определены).

Часто для группировки нужно применить формулы разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ или суммы/разности кубов.

3. Сведение к однородным уравнениям

Однородным называется уравнение, в котором сумма показателей степеней при $sin x$ и $cos x$ в каждом слагаемом одинакова.

ВАЖНОЕ

Однородное уравнение 2-й степени

A sin^{2} x + B sin x cos x + C cos^{2} x = 0

Алгоритм решения:

1. Делим обе части на $cos^{2} x$ (или на $sin^{2} x$ ).
2. Получаем квадратное уравнение относительно тангенса: $A t g^{2} x + B t g x + C = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Опасность деления на нуль

Ошибка: молча разделить однородное уравнение на $cos^{2} x .$
Правильно: на ДВИ обязательно нужно доказать, что $cos x \neq = 0 .$ Самый надёжный приём — подставить $cos x = 0$ в исходное уравнение и проверить, не обращает ли оно его в верное равенство. Если при $cos x = 0$ исходное уравнение неверно — серия $x = \frac{π}{2} + π n$ корнем не является, и деление законно.

Для уравнения с ненулевым старшим коэффициентом $A$ это доказывается так: «Пусть $cos x = 0 .$ Тогда из уравнения следует $A sin^{2} x = 0 ⟹ sin x = 0 .$ Но $sin^{2} x + cos^{2} x = 1,$ противоречие. Значит, $cos x \neq = 0,$ и можно делить на $cos^{2} x$ ».

[!] Важная оговорка.** Этот шаблон корректен только при $A \neq = 0$ . Если старший коэффициент $A = 0$ (уравнение вида $B sin x cos x + C cos^{2} x = 0$ ), то при $cos x = 0$ уравнение обращается в тождество $0 = 0,$ и из него $sin x = 0$ не следует — наоборот, серия $cos x = 0$ ( $x = \frac{π}{2} + π n$ ) тогда является корнем, и деление на $cos^{2} x$ её потеряет. Вывод: всегда сперва подставляй $cos x = 0$ в исходное уравнение и проверяй; делить можно лишь после того, как убедился, что эта серия не корень.

4. Преобразование сумм в произведения и наоборот

Этот метод незаменим, когда в уравнении встречаются аргументы большой кратности (например, $5 x,$ $7 x,$ $11 x$ ). Идея состоит в том, чтобы свернуть сумму синусов или косинусов в произведение — это позволит вынести общий множитель за скобки.

ВАЖНОЕ

Формулы преобразования суммы

sin x \pm sin y = 2 sin \frac{x \pm y}{2} cos \frac{x \mp y}{2}

cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}, cos x - cos y = - 2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2}

ПРИМЕР 1Б

Кратные углы: сумма в произведение (метод 4)

Реши уравнение $sin x + sin 3 x + sin 5 x = 0 .$

5. Метод вспомогательного аргумента

Применяется к линейным комбинациям вида $a sin x + b cos x .$ Выражение можно свернуть в одну тригонометрическую функцию, вынеся за скобки корень из суммы квадратов коэффициентов.

ВАЖНОЕ

Вспомогательный угол

a sin x \pm b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x \pm φ), где cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}

Система ${cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}}$ всегда разрешима и определяет $φ$ однозначно (с точностью до периода), потому что сумма квадратов правых частей равна $1 .$ Угол $φ$ берут в той четверти, которую задают знаки $a$ и $b .$ Если $a > 0,$ удобно сразу писать $φ = arct g \frac{b}{a} .$ Для табличных коэффициентов (как $3$ и $1$ ) $φ$ получается «красивым» ( $\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}$ ); для нетабличных (как $3$ и $4$ ) в ответе честно остаётся $arct g \frac{b}{a}$ или $arcsin$ / $arccos$ — это нормально.

Прямоугольный треугольник вспомогательного угла

На письменном экзамене просто написать эту формулу может быть недостаточно (не входит в базовую школьную программу). Рекомендуется выносить $a^{2} + b^{2}$ за скобку явно и показывать замену коэффициентов на косинус и синус угла $φ .$

ПРИМЕР 1В

Вспомогательный угол с нетабличным

φ

(метод 5)

Реши уравнение $3 sin x + 4 cos x = 5 .$

Дополнительные методы уровня ДВИ

«Пять методов» закрывают школьную программу, но на мехмате и ВМК регулярно встречаются уравнения, где их недостаточно. Два приёма ниже стоит знать обязательно.

6. Универсальная тригонометрическая подстановка $t = t g \frac{x}{2}$

Любую рациональную комбинацию $sin x,$ $cos x,$ $t g x$ можно превратить в рациональное уравнение относительно $t = t g \frac{x}{2} :$

ВАЖНОЕ

Универсальная подстановка

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, t g x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}, t = t g \frac{x}{2}

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Универсальная подстановка теряет серию

Ошибка: применить подстановку $t = t g \frac{x}{2}$ и забыть, что $t g \frac{x}{2}$ не определён при $\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + π n,$ то есть при $x = π + 2 π n .$
Правильно: перед заменой отдельно подставь $x = π + 2 π n$ в исходное уравнение и проверь, не является ли эта серия корнем. Если является — добавь её к ответу вручную. Пропуск этой проверки — типовая потеря серии, за которую снижают балл.

ПРИМЕР 1Г

Универсальная подстановка (метод 6)

Реши уравнение $sin x + cos x = 1 .$

7. Метод оценок (ограниченность функций)

Иногда уравнение решается не преобразованиями, а оценкой обеих частей. Опорные факты: $∣ sin x ∣ ⩽ 1,$ $∣ cos x ∣ ⩽ 1,$ а значит $sin x + cos x ⩽ 2,$ $a sin x + b cos x ⩽ a^{2} + b^{2}$ и т. п. Если левая часть $⩽ M,$ а правая $⩾ M,$ то равенство возможно только когда обе части одновременно равны $M$ — уравнение превращается в систему.

ВАЖНОЕ

Принцип оценки

f (x) ⩽ M g (x) ⩾ M} ⟹ (f (x) = g (x)) ⟺ {f (x) = M g (x) = M

ПРИМЕР 1Д

Метод оценок (метод 7)

Реши уравнение $cos 2 x + cos x = 2 .$

Однородные уравнения 1-й и 3-й степени

Метод 3 обобщается на любую однородную степень. 1-я степень: $a sin x + b cos x = 0$ — делим на $cos x$ (проверив $cos x \neq = 0$ ): получаем $t g x = - \frac{b}{a} .$ 3-я степень: $A sin^{3} x + B sin^{2} x cos x + C sin x cos^{2} x + D cos^{3} x = 0$ — делим на $cos^{3} x$ (с той же проверкой про $cos x = 0,$ корректной при $A \neq = 0$ ) и получаем кубическое уравнение относительно $t g x .$ Если правая часть не ноль, а число $d,$ и все слагаемые имеют одинаковую степень — приведи к однородному, домножив $d$ на подходящую степень $(sin^{2} x + cos^{2} x)$ (см. следующий раздел).

Приведение неоднородного уравнения к однородному

Распространённая ДВИ-ловушка: уравнение выглядит однородным, но в правой части стоит число, а не ноль:

a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = d, d \neq = 0.

Делить на $cos^{2} x$ сразу нельзя — правая часть не однородна. Приём: домножить $d$ на $1 = sin^{2} x + cos^{2} x,$ перенести всё влево и собрать однородное уравнение 2-й степени.

АЛГОРИТМ

Алгоритм приведения к однородному

1. Замени в правой части $d$ на $d (sin^{2} x + cos^{2} x) .$
2. Перенеси всё в левую часть — получится $A sin^{2} x + B sin x cos x + C cos^{2} x = 0$ с $A = a - d,$ $C = c - d,$ $B = b .$
3. Проверь $cos x = 0$ подстановкой в исходное уравнение (помни про оговорку $A \neq = 0$ ).
4. Раздели на $cos^{2} x$ и реши квадратное относительно $t g x .$

ПРИМЕР 1Е

Неоднородное уравнение → однородное

Реши уравнение $3 sin^{2} x + sin x cos x - 2 cos^{2} x = 1 .$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Однородное уравнение с доказательством (Уровень ДВИ)

Реши уравнение $sin^{2} x - 3 sin x cos x + 2 cos^{2} x = 0 .$

ПРИМЕР 2

Учёт ОДЗ при разложении на множители

Реши уравнение $\frac{sin 2 x - 2 sin ^{2} x}{sin x + cos x} = 0 .$

ПРИМЕР 3

Вспомогательный аргумент и преобразование разности (Сложный)

Реши уравнение $3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x .$

Отбор корней: на отрезке и пересечение серий

На мехмате и ВМК часто требуют не просто найти серии корней, а выбрать те, что попадают в заданный промежуток, либо найти пересечение/объединение серий. Это отдельный навык, и за неверный отбор снимают балл так же, как за неверное решение.

АЛГОРИТМ

Алгоритм отбора корней на отрезке

1. Реши уравнение в общем виде — получи серии $x = x_{0} + T n .$
2. Для каждой серии подставляй целые $n$ подряд и оставляй только те $x,$ что попадают в заданный промежуток (двойное неравенство $α ⩽ x_{0} + T n ⩽ β,$ откуда находишь допустимые $n$ ).
3. Если корни «некрасивые» или промежуток сложный — нарисуй единичную окружность, отметь концы дуги-промежутка, и отбери корни геометрически.
4. Выпиши отобранные корни явным списком чисел (а не серией).

ПРИМЕР 4

Отбор корней на промежутке

Реши уравнение $3 - t g x = 0$ и укажи все его корни на интервале $(- π; 2 π) .$

✓СОВЕТ

Пересечение и объединение серий

Когда ответ даёт две серии, проверь, не входит ли одна в другую. Серия $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ целиком содержится в $x = \frac{π}{2} + π n$ (поэтому первую можно не дублировать). А вот «склеивать» $x = π n$ и $x = \frac{π}{2} + π n$ в одну $x = \frac{π}{2} n$ можно, но только убедившись, что объединённая серия даёт ровно те же точки и ничего лишнего. Ложная склейка серий — частая ошибка; если не уверен — оставляй серии раздельно, за это балл не снимают.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней при сокращении

Ошибка: разделить обе части уравнения $sin 2 x = sin x$ на $sin x$ и получить уравнение $2 cos x = 1 .$ При этом безвозвратно теряется серия корней $sin x = 0 .$
Правильно: перенеси всё в одну сторону и вынеси общий множитель за скобки: $sin x (2 cos x - 1) = 0 .$ Делить на выражение с переменной категорически нельзя!

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Появление посторонних корней при возведении в квадрат и домножении

Ошибка: возвести уравнение в квадрат (например, $cos x = sin x \to cos x = sin^{2} x$ ) или домножить обе части на тригонометрическое выражение — и записать все полученные корни в ответ. Обе операции не равносильны: они могут добавить посторонние корни (возведение в квадрат теряет знак; домножение на $f (x)$ добавляет корни уравнения $f (x) = 0$ ).
Правильно: после таких операций каждый найденный корень обязательно проверь подстановкой в исходное уравнение (или сохраняй условие на знак / на $f (x) \neq = 0$ как часть системы). Это симметрично запрету делить на выражение с переменной: деление теряет корни, домножение/возведение в квадрат — добавляет лишние.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая ОДЗ при работе с тангенсами

Ошибка: свести уравнение к $t g x$ или применить формулу $t g x = \frac{sin x}{cos x},$ не выписав условие $cos x \neq = 0 .$
Правильно: как только в условии (или в процессе твоего решения) появляется дробь или тангенс/котангенс, немедленно фиксируй ОДЗ. В конце решения каждый найденный корень должен быть проверен на принадлежность ОДЗ.

Что запомнить

Большинство уравнений решается сведением аргументов к одному виду (формулы двойного угла) и функций к одному имени (основное тригонометрическое тождество).
В однородных уравнениях обязательно прописывай словами доказательство того, что функция, на которую ты делишь, не равна нулю — и помни, что шаблон «из $cos x = 0$ следует $sin x = 0$ » работает лишь при ненулевом старшем коэффициенте.
Если в правой части однородного по виду уравнения стоит число — домножь его на $(sin^{2} x + cos^{2} x)$ и сведи к однородному.
Универсальная подстановка $t = t g \frac{x}{2}$ теряет серию $x = π + 2 π n$ — проверяй её отдельно.
Если перед синусом и косинусом стоят коэффициенты, отличные от единицы (например, $3$ и $1,$ $3$ и $4$ ) — это верный маркер метода вспомогательного угла; для нетабличных коэффициентов $arct g$ остаётся в ответе.
Если в одной части «сумма ограниченных функций = их максимум» — это метод оценок: преврати в систему «каждое слагаемое равно своему максимуму».

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике: за задачу можно получить полный балл (+), частичный (±) или ноль (−). «±» — самый частый исход у тех, кто «решил, но недооформил». Ниже — что отделяет «+» от «±».

✓СОВЕТ

Эталон полного решения (на «+»)

1. ОДЗ выписана в начале, если есть дроби, тангенсы/котангенсы или корни.
2. Каждый нетривиальный переход обоснован: деление на $cos^{2} x$ — с доказательством $cos x \neq = 0;$ возведение в квадрат — с контролем знака.
3. Серии корней не потеряны и не размножены: проверены потерянные серии (для $t g \frac{x}{2}$ ), отброшены посторонние (после квадрата/домножения).
4. Отбор корней доведён до явного списка, если он требуется по условию; нетривиальный отбор — с окружностью.
5. Ответ в канонической форме: серии вида $x = x_{0} + T n, n \in Z;$ пересекающиеся серии объединены или оставлены раздельно (но не «склеены» ошибочно).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают до «±» (калибровка)

Потеряна серия корней (поделили на $sin x$ / на $t g \frac{x}{2}$ без проверки) — метод верный, но ответ неполный → обычно ±.
Деление на $cos^{2} x$ без доказательства $cos x \neq = 0$ — необоснованный переход → ± (а если при этом реально потеряна серия при $A = 0$ → ближе к −).
Не отобран/не отброшен лишний корень после возведения в квадрат или домножения — в ответе посторонние значения → ±.
Ответ не доведён до канонической формы или отбор на отрезке не выполнен, хотя требовался по условию → ±.
Арифметическая описка в табличном значении или знаке (\arccos(-a) перепутан) при верном методе → ±.
Верный ответ без решения / с «прыжком» через ключевой шаг — проверяющий не видит обоснования → ± или −.

Правило большого пальца: верный метод + полное обоснование + полный ответ = «+». Выпадение любой из трёх частей сдвигает к «±».

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Оформление и строгость

Проверяющие на мехмате и ВМК снижают баллы за необоснованные переходы. Если ОДЗ выписана, но в конце нет явной фразы или вычислений, показывающих, что корень удовлетворяет ОДЗ — это «непринципиальный недочёт» или даже ошибка, ведущая к снижению оценки. Если проверка сложная (аргументы не совпадают с узлами сетки), нарисуй тригонометрическую окружность прямо в чистовике, отметь выколотые точки ОДЗ крестиками, а корни — жирными точками, и напиши вывод.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

arccos (- \frac{1}{2}) ?

2.Какую серию теряет универсальная подстановка

t = t g \frac{x}{2},

если её не проверить отдельно?

3.Уравнение

sin 2 x = sin x

решают переносом и разложением на множители, а не делением на

sin x .

Почему?

4.Уравнение

3 sin^{2} x + sin x cos x - 2 cos^{2} x = 1

сводят к однородному, заменяя

1

на:

База: простейшие уравнения и частные случаи

Рабочие формулы (учить наизусть — листа не выдают)

Пять основных методов решения

1. Сведение к квадратному уравнению

2. Группировка и разложение на множители

3. Сведение к однородным уравнениям

4. Преобразование сумм в произведения и наоборот

5. Метод вспомогательного аргумента

Дополнительные методы уровня ДВИ

6. Универсальная тригонометрическая подстановка t=tg2x​

7. Метод оценок (ограниченность функций)

Однородные уравнения 1-й и 3-й степени

Приведение неоднородного уравнения к однородному

Примеры решения задач

Отбор корней: на отрезке и пересечение серий

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ

6. Универсальная тригонометрическая подстановка $t = t g \frac{x}{2}$