Часть 2, задание 4: Уравнение — ДВИ

Задание 4. Уравнения и системы уравнений

На ДВИ по математике уравнение (чаще всего это задание №4) выступает своеобразным фильтром. В отличие от стандартных школьных задач, где достаточно применить один алгоритм, здесь проверяется математическая культура: умение работать с ограничениями, грамотно использовать равносильные переходы и аккуратно отбирать корни. Голый ответ без обоснования переходов и проверки ограничений не оценивается.

Какие темы встречаются

Задание объединяет несколько разделов математики, часто переплетая их в одном условии:

Тригонометрические уравнения: сложные аргументы, отбор корней с учетом знаменателя или подкоренного выражения, однородные уравнения, вспомогательный угол.
Иррациональные уравнения: корни четной степени, требующие контроля знака правой части.
Показательные и логарифмические уравнения: переменное основание логарифма, нестандартные замены, применение свойств степеней.
Системы уравнений: комбинация разных функций (например, тригонометрия + логарифмы), требующая подстановки, разложения на множители или метода оценок (мажорант).

Общий подход: ОДЗ или равносильность

На ДВИ есть два законных способа не потерять корни и не приобрести лишние:

1. Поиск полной ОДЗ (Области допустимых значений). Ты выписываешь все ограничения (подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели не равны нулю, аргументы и основания логарифмов строго положительны), решаешь это как систему неравенств, а затем решаешь само уравнение и проверяешь, попали ли корни в ОДЗ.
2. Равносильные переходы. Позволяют избежать решения сложных неравенств. Ты заменяешь уравнение на равносильную систему, в которую входят только те ограничения, которые действительно необходимы.

Опыт вступительных экзаменов показывает, что второй путь (равносильные переходы) часто безопаснее и быстрее, так как полная ОДЗ может состоять из неравенств, которые школьными методами решить крайне трудно.

ВАЖНОЕ

Равносильный переход для иррациональных уравнений

Возведение в квадрат требует проверки знака правой части. Условие $f (x) ⩾ 0$ писать не нужно, так как $f (x) = g^{2} (x) ⩾ 0$ автоматически.

f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = g^{2} (x) g (x) ⩾ 0

ВАЖНОЕ

Равносильный переход для логарифмических уравнений

Из двух условий $f (x) > 0$ и $g (x) > 0$ достаточно выбрать то, которое проще решить. Второе выполнится автоматически в силу равенства.

lo g_{h (x)} f (x) = lo g_{h (x)} g (x) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ f (x) = g (x) f (x) > 0 (или g (x) > 0) h (x) > 0 h (x) \neq = 1

ВАЖНОЕ

Логарифм равен числу

Частный, но самый ходовой случай (именно он работает в Примере 1). По определению логарифма:

lo g_{h (x)} f (x) = c ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ f (x) = h (x)^{c} h (x) > 0 h (x) \neq = 1

Условие $f (x) > 0$ выполняется автоматически: $f (x) = h (x)^{c} > 0$ при $h (x) > 0 .$

ВАЖНОЕ

Степень под логарифмом

При вынесении четной степени обязательно остается модуль. Потеря модуля — одна из самых частых ошибок на ДВИ.

lo g_{a} (b^{2 n}) = 2 n lo g_{a} ∣ b ∣, a > 0, a \neq = 1, b \neq = 0

Внимание: модуль ставится только при чётной степени. При нечётной $n$ и $b < 0$ левая часть не определена, поэтому для произвольного $n$ пишут $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$ при $b > 0$ (см. справочник).

АЛГОРИТМ

Алгоритм подхода к задаче

1. Осмотр: определи тип уравнения. Есть ли дроби, корни, логарифмы?
2. Фиксация ограничений: сразу выпиши, какие условия отбора понадобятся (знаменатель $\neq = 0,$ $g (x) ⩾ 0$ под корнем, основание и аргумент логарифма). Именно по этому списку пойдёт отбор на шаге 5.
3. Упрощение: сделай замену, разложи на множители, приведи к одному основанию или одному аргументу.
4. Решение простейших элементов: доведи каждую ветвь до ответа.
5. Отбор: строго проверь каждый найденный корень по условиям, зафиксированным на шаге 2. Для тригонометрии используй окружность или целочисленный перебор $k,$ для алгебры — прямую подстановку.

Мини-справочник: что выписать на черновик

Листа формул на ДВИ не выдают. В первые 5 минут экзамена, пока голова свежая, выпиши на черновик опорный минимум. Ниже — то, что почти всегда нужно в задании 4 (полный свод — в справочнике).

ВАЖНОЕ

Тригонометрия: то, что решает задачу 4

Простейшие уравнения:

sin x = a ⟺ x = (- 1)^{n} arcsin a + π n; cos x = a ⟺ x = \pm arccos a + 2 π n (∣ a ∣ ⩽ 1)

t g x = a ⟺ x = arct g a + π n, n \in Z

Двойной угол / понижение степени:

sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

Суммы $\leftrightarrow$ произведения:

sin x \pm sin y = 2 sin \frac{x \pm y}{2} cos \frac{x \mp y}{2}, cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}

cos x - cos y = - 2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2}

Вспомогательный угол: $a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ),$ где $cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} .$

ВАЖНОЕ

Логарифмы и степени: опорные тождества

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c, lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c, lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b (b > 0)

lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b, a^{l o g_{a} b} = b, lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} (переход к новому основанию)

a^{g (x)} = a^{h (x)} ⟺ g (x) = h (x) (a > 0, a \neq = 1)

Примеры задач

Логарифмические уравнения

ПРИМЕР 1

Логарифмическое уравнение с переменным основанием

Реши уравнение $lo g_{x} (2 x^{2} - 5 x + 4) = 2 .$

Иррациональные уравнения

ПРИМЕР 2

Иррациональное уравнение: условие

g (x) ⩾ 0

отсекает посторонний корень

Реши уравнение $x + 7 = x + 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Приобретение постороннего корня при возведении в квадрат

Ошибка: возвести $f = g$ в квадрат, получить $f = g^{2}$ и записать в ответ все корни, не проверив знак правой части.
Правильно: возведение в квадрат — переход «в одну сторону» (оно не теряет корней, но приобретает лишние). Обязательное условие $g (x) ⩾ 0$ отсекает тот корень, при котором правая часть отрицательна (как $x = - 3$ в Примере 2). Это зеркальный двойник «потери модуля»: там теряют корни, здесь — приобретают.

Показательные уравнения

ПРИМЕР 3

Показательное уравнение: замена

t = a^{x}

Реши уравнение $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0 .$

✓СОВЕТ

Однородные показательные уравнения

Если в уравнении встречаются три «этажа» одной структуры — $a^{2 x},$ $(ab)^{x}$ и $b^{2 x}$ — это однородное уравнение. Делим обе части на $b^{2 x}$ (оно строго положительно, делить безопасно) и вводим замену $t = (\frac{a}{b})^{x} > 0 .$

Например, $4 \cdot 9^{x} - 13 \cdot 6^{x} + 9 \cdot 4^{x} = 0 :$ делим на $4^{x},$ замена $t = (\frac{3}{2})^{x},$ получаем $4 t^{2} - 13 t + 9 = 0 .$

Тригонометрические уравнения

ПРИМЕР 4

Однородное тригонометрическое уравнение

Реши уравнение $sin^{2} x - 4 sin x cos x + 3 cos^{2} x = 0 .$

ПРИМЕР 5

Вспомогательный угол

Реши уравнение $sin x + 3 cos x = 1 .$

✎ЗАМЕТКА

Универсальная подстановка

t = t g \frac{x}{2}

— осторожно с потерей корня

Подстановка $t = t g \frac{x}{2}$ сводит любое уравнение от $sin x, cos x$ к рациональному:

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, t g x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} .

Но $t g \frac{x}{2}$ не определён при $x = π + 2 π n,$ поэтому эта серия теряется. После решения её нужно проверить отдельной подстановкой в исходное уравнение и, если она подходит, дописать в ответ. Потеря $x = π + 2 π n$ — классическая причина снятия баллов на ДВИ.

$Тригонометрическая окружность с центром в начале координат$

Тригонометрическая окружность с центром в начале координат

Подведите θ к π — видно, почему tg(θ/2) там не определён и серия теряется

Отбор корней: целочисленный перебор

ПРИМЕР 6

Дробь = 0 с реальным пересечением серий (отбор перебором

k

)

Реши уравнение $\frac{sin 3 x}{sin x} = 0 .$

ПРИМЕР 7

Тригонометрия с ограничениями (дробь = 0)

Реши уравнение $\frac{sin 4 x - sin 2 x}{cos x + sin x} = 0 .$

Системы уравнений

ПРИМЕР 8

Система: логарифм + алгебра (приведение к симметричной)

Реши систему

{lo g_{2} x + lo g_{2} y = 3 x + y = 6

ПРИМЕР 9

Метод оценок (мажорант)

Реши уравнение $x - 2 + 4 - x = x^{2} - 6 x + 11 .$

✓СОВЕТ

Когда срабатывает метод оценок

Метод мажорант ищи, если в уравнении «не сходятся степени» (слева корни/синусы, справа квадратный трёхчлен) и прямые преобразования буксуют. Признак: одна часть ограничена сверху ( $sin, cos,$ сумма корней, $- (x - a)^{2} + M$ ), другая — снизу ( $(x - a)^{2} + M,$ сумма квадратов). Критично: экстремумы обеих частей должны достигаться в общей точке — иначе решений нет. Частный случай — «сумма неотрицательных $= 0$ »: тогда каждое слагаемое равно нулю.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней при извлечении квадратного корня

Ошибка: Решая уравнение $x^{2} = (x - 2)^{2},$ записать $x = x - 2 ⟹ 0 = - 2$ и сделать вывод об отсутствии корней.
Правильно: $A^{2} = ∣ A ∣ .$ Верный переход: $∣ x ∣ = ∣ x - 2∣,$ что распадается на $x = x - 2$ (нет решений) и $x = - (x - 2) ⟹ 2 x = 2 ⟹ x = 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованный отбор корней

Ошибка: В тригонометрическом уравнении написать «по ОДЗ корни такие-то отбрасываются», не показав проверяющему, как именно ты это понял.
Правильно: Обязательно нарисуй тригонометрическую окружность с отмеченными выколотыми точками и корнями, либо приведи строгое алгебраическое доказательство — целочисленный перебор $k,$ как в Примере 6 (выясни, при каких $n$ серия попадает в запрещённое множество, и опиши остаток явно).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на

sin x

или

cos x

без проверки

Ошибка: в однородном уравнении сразу делить на $cos^{2} x,$ не проверив, не теряется ли серия $cos x = 0 .$
Правильно: перед делением подставь $cos x = 0$ в уравнение. Если левая часть при этом не обращается в нуль (как в Примере 4: получается $1 \neq = 0$ ) — серию не теряем, делить можно. Если обращается — эту серию надо отдельно занести в ответ.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по рубрике с частичными баллами « $\pm$ »: важен не только финальный ответ, но и каждый логический переход. Ниже — образец полного оформления и список того, за что снимают баллы.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (на примере дробного уравнения)

1. Тип и ограничения. Назови тип уравнения и сразу выпиши ограничения словом «Ограничения:» (а не аббревиатурой «ОДЗ»): знаменатель $\neq = 0,$ подкоренное $⩾ 0,$ аргумент и основание логарифма. Это будущий список для отбора.
2. Равносильный переход. Запиши переход к системе/совокупности через знак $⟺,$ а не «по ОДЗ». Каждое условие — на своей строке.
3. Решение ветвей. Доведи каждую серию/каждый корень до явного вида с указанием $k, n \in Z .$
4. Отбор с обоснованием. Покажи, как отбираешь: окружность с выколотыми точками или целочисленный перебор $k$ (Пример 6). Фраза «корни отбросили по ОДЗ» без расчёта баллов не приносит.
5. Проверка. Подставь хотя бы один корень обратно. Запиши «Ответ:» отдельной строкой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на ДВИ

Деление на выражение с переменной без оговорки. Если делишь обе части на $f (x),$ обязательно напиши «Покажем, что $f (x) \neq = 0$ » и докажи (от противного). Если $f (x)$ может быть нулём — разбирай два случая.
Слово «ОДЗ» вместо полного списка ограничений. Проверяющий вправе требовать все условия; забыл одно — теряешь балл.
Отбор «на глаз». Серии корней в тригонометрии нужно отбирать окружностью или перебором $k,$ а не словами «очевидно, не подходит».
Потеря модуля при чётной степени под логарифмом/корнем ( $A^{2} = ∣ A ∣,$ $lo g_{a} b^{2 n} = 2 n lo g_{a} ∣ b ∣$ ).
Потеря серии $x = π + 2 π n$ при универсальной подстановке $t = t g \frac{x}{2}$ (проверять отдельно).
Приобретение постороннего корня при возведении в квадрат без условия $g (x) ⩾ 0 .$
Нет проверки. Финальная подстановка хотя бы одного корня — дешёвая страховка от арифметической ошибки.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия и тактика

Время: Задание 4 — это экватор варианта. На него стоит потратить 25-35 минут. Если застрял на преобразованиях — проверь, не сделал ли ты арифметическую ошибку в самом начале, или отложи задачу и перейди к планиметрии (задание 5).
Справочных материалов нет. Все формулы двойного и тройного углов, суммы синусов и логарифмические тождества нужно знать наизусть. Выпиши их на черновик в первые 5 минут экзамена, пока голова свежая (опорный минимум — в блоке «Мини-справочник» выше).
Оформление: Экзаменаторы на мехмате очень строго относятся к словам «поделим на $f (x)$ ». Если ты делишь обе части уравнения на выражение с переменной, обязательно напиши фразу: «Покажем, что $f (x) \neq = 0$ » и докажи это от противного. Если оно может быть равно нулю — рассматривай два случая.

Проверь себя0 из 4

1.Уравнение

f (x) = g (x)

равносильно системе

f (x) = g^{2} (x)

и какому условию?

2.Решая

x + 7 = x + 1,

получили корни

x_{1} = - 3

x_{2} = 2 .

Что идёт в ответ?

3.При универсальной подстановке

t = t g \frac{x}{2}

какая серия может потеряться?

4.Чему равно

lo g_{a} (b^{2 n})

при

a > 0,

a \neq = 1,

b \neq = 0 ?