Сферы — ДВИ

Работа со сферами на ДВИ

Главная отличительная особенность задач на сферы и круглые тела на ДВИ состоит в том, что их очень трудно изобразить на чертеже целиком. Главный навык, который проверяется проверяющими — умение сводить громоздкую трёхмерную конструкцию к одной или нескольким плоским картинкам (сечениям), отбрасывая всё второстепенное.

✓СОВЕТ

Главное правило

Никогда не пытайся нарисовать реалистичный объёмный шар со всеми бликами и экваторами, если решаешь задачу на пересечение или касание тел. Рисуй только осевые сечения плоскостями, проходящими через центры сфер и точки касания. В сечении сфера всегда даёт окружность.

ВАЖНОЕ

Базовые метрические характеристики

Площадь поверхности сферы:

S = 4 π R^{2}

Объём шара (внутренней области сферы):

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Сечение сферы плоскостью

Это базовейший факт о сфере, без которого не обходится почти ни одна задача. Лист формул на ДВИ не выдают, поэтому держи его в активной памяти.

ВАЖНОЕ

Радиус сечения

Если плоскость удалена от центра сферы радиуса $R$ на расстояние $d$ ( $d < R$ ), то она пересекает сферу по окружности радиуса

ρ = R^{2} - d^{2} .

В частности, плоскость, проходящая через центр ( $d = 0$ ), даёт окружность максимального радиуса $ρ = R$ — это большой круг сферы.

Доказательство в одну строку: центр $O$ сферы, центр $O^{'}$ сечения (основание перпендикуляра из $O$ на плоскость) и любая точка $M$ окружности сечения образуют прямоугольный треугольник $O O^{'} M$ с прямым углом при $O^{'} .$ В нём $O M = R$ (радиус сферы), $O O^{'} = d,$ значит, $O^{'} M = R^{2} - d^{2}$ — и это одно и то же для всех точек $M,$ то есть сечение действительно окружность.

Сечение сферы плоскостью на расстоянии d от центра

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Почему это важно под рубрику

Когда в решении ты пишешь «рассмотрим сечение сферы плоскостью симметрии — это большой круг», ты молча используешь именно этот факт ( $d = 0 \Rightarrow ρ = R$ ). На ДВИ проверяющий хочет видеть обоснование: «плоскость проходит через центр сферы, поэтому в сечении получается окружность радиуса $R$ ». Без этой фразы за «прыжок» могут поставить «±».

Касание сфер и плоскостей

Одна из самых частых конструкций на экзамене — несколько сфер, которые касаются друг друга и некоторой плоскости. Ключ к решению таких задач лежит в прямоугольной трапеции, которую образуют центры сфер и их проекции на плоскость.

Пусть две сферы радиусов $R$ и $r$ касаются друг друга внешним образом и обе касаются плоскости $α .$ Линия центров $O_{1} O_{2}$ проходит через точку их касания, поэтому расстояние между центрами равно $R + r .$

Проведи плоскость через центры сфер перпендикулярно плоскости $α .$ В сечении получится прямоугольная трапеция, где боковая сторона равна $R + r,$ а основания — радиусы, проведённые в точки касания с плоскостью ( $R$ и $r$ ).

ВАЖНОЕ

Расстояние между точками касания

Если две сферы радиусов $R$ и $r$ касаются внешним образом друг друга и плоскости $α,$ то длина отрезка $d,$ соединяющего их точки касания с плоскостью, вычисляется по теореме Пифагора из проекции центров:

d = (R + r)^{2} - (R - r)^{2} = 2 R r .

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Условия применимости формулы

2 R r

Формула $d = 2 R r$ верна только когда выполнены три условия одновременно:
1. обе сферы касаются плоскости $α;$
2. они лежат по одну сторону от $α$ (а не одна над, другая под);
3. они касаются друг друга внешним образом (расстояние центров $R + r$ ).

Если касание внутреннее (расстояние центров $R - r$ ) или сферы по разные стороны плоскости — формула другая, выводи трапецию заново. Это типичный источник ошибки: формулу применяют «по привычке», не проверив конфигурацию.

Сферы, вписанные в многогранники и конусы

Если сфера вписана в многогранник (касается всех его граней) или конус, её центр одинаково удалён от всех этих плоскостей. Это означает, что центр сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов фигуры.

✓СОВЕТ

Почему центр лежит на высоте

В прямом круговом конусе и правильной пирамиде вся фигура симметрична относительно оси (высоты). Центр вписанной сферы равноудалён от всех граней, а значит, при отражении в плоскости симметрии переходит сам в себя — следовательно, лежит на оси симметрии, то есть на высоте. Эту фразу полезно прямо писать в решении, а не считать очевидной: на ДВИ положение центра нужно обосновать.

В прямых круговых конусах и правильных пирамидах задача сводится к планиметрии: в осевом сечении фигуры сфера становится окружностью, вписанной в треугольник.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через осевое сечение

1. Найди плоскость симметрии конструкции (обычно проходит через высоту и апофему/образующую).
2. Нарисуй это сечение отдельно как плоскую планиметрическую задачу.
3. Вырази элементы сечения через введённые переменные (например, угол $α$ и радиус $R$ ).
4. Используй формулы для радиуса вписанной окружности в треугольнике $r = \frac{S}{p}$ или тригонометрию в прямоугольных треугольниках, образованных биссектрисой.

✓СОВЕТ

Альтернатива через объём

Для вписанной в любой многогранник сферы работает «объёмная» формула (см. справочник):

r = \frac{3 V}{S _{полн}},

где $V$ — объём многогранника, $S_{полн}$ — площадь полной поверхности. Она спасает, когда осевого сечения нет (например, неправильная пирамида), но проверь, что сфера действительно вписывается (касается всех граней).

Описанная сфера около многогранника и конуса

Это второй основной подтип темы «сфера и тело», на ДВИ он встречается не реже вписанной сферы. Описанная сфера проходит через все вершины тела, поэтому её центр равноудалён от всех вершин.

ВАЖНОЕ

Где центр описанной сферы

Центр $O$ описанной сферы лежит на пересечении плоскостей, перпендикулярных рёбрам и проходящих через их середины (серединных перпендикуляров к рёбрам). Практические следствия:

В правильной пирамиде и прямом круговом конусе центр лежит на оси (высоте или её продолжении): ось — это серединный перпендикуляр к каждому ребру основания «в проекции».
Центр находят из условия: расстояние от $O$ до вершины основания равно расстоянию от $O$ до вершины (апекса). Получается одно линейное уравнение на положение центра вдоль оси.
В прямой призме центр описанной сферы — середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей оснований; тогда $R^{2} = R_{осн}^{2} + (\frac{H}{2})^{2},$ где $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания, $H$ — высота призмы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не путай со вписанной

Описанная сфера касается вершин (проходит через них), вписанная — касается граней. Центр описанной — на пересечении серединных перпендикуляров к рёбрам; центр вписанной — на пересечении биссекторных плоскостей. Если в условии сказано «сфера проходит через вершины» — это описанная; «касается граней/рёбер» — вписанная. Перепутать конфигурацию — грубая ошибка, обнуляющая решение.

Сфера и куб, сфера и правильный тетраэдр

Частный, но регулярный сюжет: сфера и правильный многогранник. Эти формулы тоже нужно помнить наизусть — листа формул нет.

ВАЖНОЕ

Куб с ребром

a

Описанная сфера (через 8 вершин): диаметр равен пространственной диагонали куба $a 3,$ поэтому

R_{опис} = \frac{a 3}{2} .

Вписанная сфера (касается 6 граней): диаметр равен ребру,

R_{впис} = \frac{a}{2} .

Сфера, касающаяся всех 12 рёбер: её радиус

R_{рёб} = \frac{a 2}{2} = \frac{a}{2} .

ВАЖНОЕ

Правильный тетраэдр с ребром

a

R_{опис} = \frac{a 6}{4}, R_{впис} = \frac{a 6}{12} .

Отношение $R_{опис} : R_{впис} = 3 : 1$ (общий факт для правильного тетраэдра — центр делит высоту в отношении $3 : 1$ ).

Шаровой сегмент, слой и сектор

Когда плоскость отсекает от шара «шапочку», получается шаровой сегмент. Эти формулы лист формул не содержит, а в задачах «часть шара над/под плоскостью» они нужны.

ВАЖНОЕ

Шаровой сегмент высоты

h

(шар радиуса

R

)

Объём сегмента:

V_{сегм} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) .

Площадь сферической части («шапочки»):

S_{сфер} = 2 π R h .

Радиус основания сегмента: $ρ = h (2 R - h)$ (следует из $ρ = R^{2} - d^{2}$ при $d = R - h$ ).

Шаровой слой между двумя параллельными сечениями: его сферическая часть тоже считается как $S_{сфер} = 2 π R h,$ где $h$ — расстояние между плоскостями.
Шаровой сектор (конус + сегмент): $V_{сект} = \frac{2}{3} π R^{2} h .$

Координатный метод для сфер

Когда чертёж не помогает (3–4 сферы, перекошенная конфигурация), часто короче и надёжнее посадить всё в координаты.

ВАЖНОЕ

Уравнение сферы и расстояния

Сфера радиуса $R$ с центром $(a, b, c) :$

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} .

Расстояние между центрами $O_{1} (a_{1}, b_{1}, c_{1}),$ $O_{2} (a_{2}, b_{2}, c_{2}) :$

∣ O_{1} O_{2} ∣ = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} + (c_{1} - c_{2})^{2} .

Внешнее касание сфер $⟺ ∣ O_{1} O_{2} ∣ = R_{1} + R_{2};$ внутреннее $⟺ ∣ O_{1} O_{2} ∣ = ∣ R_{1} - R_{2} ∣ .$
Касание сферы с плоскостью $A x + B y + C z + D = 0$ $⟺$ расстояние от центра до плоскости равно $R$ (см. формулу расстояния в справочнике).

Идея метода: поставить плоскость $α$ как $z = 0,$ тогда центр сферы, касающейся $α$ и лежащей над ней, имеет координату $z = R$ (её радиус). Условия касания сфер дают систему уравнений на координаты центров — чисто алгебраическая задача.

Разбор примеров

ПРИМЕР 1

Сфера и конус

Условие. В прямой круговой конус вписана сфера. Отношение объёма сферы к объёму конуса равно $\frac{4}{9} .$ Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса со вписанной сферой

ПРИМЕР 2

Взаимно касающиеся сферы на плоскости

Условие. Три шара радиуса $R$ попарно касаются друг друга и некоторой плоскости $α .$ Четвёртый шар радиуса $r$ касается всех трёх данных шаров и плоскости $α .$ Найдите $r .$

ПРИМЕР 3

Сфера, вписанная в пирамиду

Условие. В правильную четырёхугольную пирамиду $S A B C D$ вписана сфера, касающаяся основания $A B C D$ и всех боковых граней. Сторона основания равна $4,$ боковое ребро равно $17 .$ Найдите радиус сферы.

ПРИМЕР 4

Описанная сфера около пирамиды

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6,$ высота равна $4 .$ Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

Осевое сечение пирамиды с описанной сферой

ПРИМЕР 5

Сечение сферы плоскостью

Условие. Радиус сферы равен $10 .$ Через точку $M,$ лежащую на расстоянии $6$ от центра, проведены два сечения: одно перпендикулярно отрезку $O M,$ другое проходит через центр сферы. Найдите радиусы полученных окружностей.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибочное положение точек касания

Ошибка: Считать, что сфера, касающаяся всех рёбер правильного тетраэдра, касается их в произвольных точках или что её проекция совпадает с центром грани.
Правильно: Точки касания сферы с гранями или рёбрами всегда строго симметричны относительно осей фигуры. Для правильных многогранников они лежат на апофемах или серединах рёбер. Всегда доказывай положение точки касания через равенство касательных, проведённых из одной вершины (например, $A S = A P$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Подмена расстояний

Ошибка: При расчёте расстояния между центрами двух касающихся сфер разного радиуса записать гипотенузу прямоугольного треугольника проекций как $R + r,$ а проекцию как $R - r,$ перепутав их местами.
Правильно: В 3D-пространстве расстояние между центрами касающихся внешним образом сфер — это строго сумма радиусов $R + r$ (гипотенуза). Разность радиусов $R - r$ — это катет, отвечающий за разницу высот центров над плоскостью. При внутреннем касании расстояние центров равно $R - r .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря второго корня

Ошибка: Получив квадратное уравнение (как в примере 1: $9 y^{2} - 9 y + 2 = 0$ ), взять «удобный» корень и забыть про второй.
Правильно: На ДВИ оба корня надо проверить на геометрическую допустимость, а не отбрасывать наугад. Допустимый корень — тот, что даёт невырожденную фигуру (острый конус, $0 < α < 9 0^{\circ},$ положительные длины). Если допустимы оба — в ответе оба. Пропуск верного корня — это «±», даже если арифметика безупречна.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вписанная vs описанная

Ошибка: Применить аппарат вписанной сферы (центр на биссекторных плоскостях, $r = S / p$ в сечении) к задаче про описанную сферу (или наоборот).
Правильно: «Проходит через вершины» — описанная (центр на серединных перпендикулярах к рёбрам / на оси, равноудалён от вершин). «Касается граней/рёбер» — вписанная (центр равноудалён от граней). Сначала по условию определи тип сферы, потом выбирай метод.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ — письменный экзамен без листа формул, оценка по outcomes-рубрике «±». За правильный ответ без обоснований ставят «±» или «−». Ниже — эталон полного решения и список того, за что снимают.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения (структура)

1. Введи обозначения и тип сферы. « $O$ — центр вписанной сферы радиуса $r;$ так как пирамида правильная, $O$ лежит на высоте $S H$ (плоскость симметрии)».
2. Сведи к плоскости с обоснованием. «Рассмотрим сечение плоскостью $S M N$ через высоту и середины противоположных сторон; точка касания с гранью лежит на апофеме, т.е. в этой плоскости — поэтому сечение содержит точку касания».
3. Назови все используемые факты. Если используешь «сечение через центр = большой круг» — напиши, что плоскость проходит через центр и потому $ρ = R .$
4. Доведи до явного ответа и проверь геометрическую допустимость всех найденных значений.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Окружность вписана/описана в треугольник сечения без объяснения, почему сечение именно такое (нет фразы про плоскость симметрии / большой круг).
Положение центра сферы (на высоте, на оси, в центре треугольника) взято как очевидное, без ссылки на симметрию или равноудалённость.
Найден один корень из двух — второй потерян без проверки допустимости.
Формула $2 R r$ применена без проверки условий (касание плоскости, одна сторона, внешнее касание).
Перепутаны $R + r$ и $R - r$ (внешнее/внутреннее касание) либо вписанная/описанная сфера.
Ответ с иррациональностью не приведён к стандартному виду (знаменатель не рационализирован).

Что запомнить

Секрет стереометрии ДВИ — в сведении объёма к плоскости. Ищи плоскости симметрии и строй осевые сечения.
Сечение сферы плоскостью — окружность радиуса $ρ = R^{2} - d^{2};$ сечение через центр — большой круг радиуса $R .$
Расстояние по плоскости между точками касания двух лежащих на ней сфер равно $2 R r$ — но только при касании плоскости, одной стороне и внешнем касании. Это базовый блок для десятков задач.
Вписанная сфера: центр на биссекторных плоскостях / на высоте; $r = \frac{S}{p}$ в сечении или $r = \frac{3 V}{S _{полн}} .$ Описанная сфера: центр на серединных перпендикулярах к рёбрам / на оси, равноудалён от вершин.
Помни наизусть (листа формул нет): $V_{сегм} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}),$ $S_{сфер} = 2 π R h;$ для куба $R_{опис} = \frac{a 3}{2},$ $R_{впис} = \frac{a}{2};$ для правильного тетраэдра $R_{опис} = \frac{a 6}{4},$ $R_{впис} = \frac{a 6}{12} .$

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

На экзамене

Вводи буквы, не считай числа сразу. В задачах на касание сфер очень много радикалов. Вырази всё через $R,$ $r,$ $a$ и подставляй числа только в самом последнем уравнении. Это спасёт от обидных арифметических ошибок.
Обосновывай планиметрию. На ДВИ проверяющие снимают баллы, если ты просто нарисуешь окружность в треугольнике без объяснений. Напиши: «Проведём плоскость через высоту конуса... Из соображений симметрии сечением сферы будет вписанная в треугольник окружность».
Сначала определи тип сферы (вписанная / описанная / касающаяся) — от этого зависит весь метод.
Задачи на комбинации сфер (когда их 3 или 4 штуки) обычно сводятся к одному квадратному или линейному уравнению после применения формулы $2 R r .$ Если получается кубическое уравнение без очевидного корня — скорее всего, допущена ошибка в проекциях.
Если синтетика буксует (3–4 сферы, перекошенная картинка) — переходи к координатам: центр касающейся плоскости $z = 0$ сферы имеет $z = R .$

Проверь себя0 из 4

1.Плоскость удалена от центра сферы радиуса

R = 5

на расстояние

d = 3 .

Каков радиус окружности сечения?

2.Две сферы радиусов

R

r

касаются друг друга внешним образом и плоскости

α

по одну сторону от неё. Чему равно расстояние между точками касания с плоскостью?

3.Каков радиус сферы, описанной около куба с ребром

a ?

4.Где лежит центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?