Часть 2, задание 7: Стереометрия — ДВИ

О задании

Задача 7 на ДВИ МГУ — это полноценная стереометрическая задача высокого уровня. В отличие от ЕГЭ, здесь не бывает «утешительных» пунктов «а) докажите, б) найдите». От тебя требуется решить одну сложную проблему, самостоятельно выстроив цепочку доказательств и вычислений.

Ключевая особенность ДВИ по стереометрии — требование абсолютной строгости. На ЕГЭ иногда прощают фразы вида «высота падает в центр», на мехмате за это ставят 0 баллов за всю задачу. Каждое геометрическое свойство (параллельность, перпендикулярность, положение центра сферы) должно опираться на теоремы.

Какие темы встречаются

Банк задач ДВИ базируется на нескольких крупных блоках:

Многогранники: пирамиды, призмы, параллелепипеды. Часто встречаются усечённые фигуры или многогранники, составленные из нескольких.
Круглые тела и их комбинации: сферы, вписанные в пирамиду или описанные около неё; цилиндры и конусы в комбинации с шарами. Это самый объёмный и сложный класс задач.
Углы и расстояния: между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями.
Сечения: построение сечений с заданными свойствами и поиск их площади или отношения, в котором они делят объём.

Основные формулы и методы

Лист с формулами на экзамене не выдают. Базовые объёмы и площади нужно помнить наизусть, как и связующие формулы. Полную таблицу объёмов и поверхностей всех тел смотри в справочнике (раздел «Стереометрия») — здесь собрано то, что в задаче 7 нужно держать на кончиках пальцев.

ВАЖНОЕ

Объёмы и поверхности основных тел

V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H, V_{призмы} = S_{осн} \cdot H

V_{усеч . пир .} = \frac{1}{3} H (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})

V_{цилиндра} = π R^{2} H, S_{бок . цил .} = 2 π R H

V_{конуса} = \frac{1}{3} π R^{2} H, S_{бок . кон .} = π R l (l - образующая, l = R^{2} + H^{2})

V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3}, S_{сферы} = 4 π R^{2}

Мощный инструмент стереометрии ДВИ — связь объёма и радиуса вписанной сферы. Формула работает для любого многогранника, описанного около шара.

ВАЖНОЕ

Радиус вписанной сферы

V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r ⟹ r = \frac{3 V}{S _{полн}}

где $S_{полн}$ — площадь полной поверхности многогранника, описанного около шара (сфера касается всех граней).

Для вычисления расстояния от точки до плоскости (или между скрещивающимися прямыми) классические построения часто приводят к громоздким чертежам. Эффективнее использовать метод объёмов.

ВАЖНОЕ

Метод объёмов

Если нужно найти расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $B C D,$ рассмотри пирамиду $A B C D .$ Вычисли её объём $V$ другим, более удобным способом (приняв за основание другую грань). Тогда:

h = \frac{3 V}{S _{B C D}}

Для углов между плоскостями и площадей сечений незаменима формула проекции.

ВАЖНОЕ

Площадь ортогональной проекции

Если плоская фигура площади $S$ образует с плоскостью проекции двугранный угол $φ,$ то площадь её ортогональной проекции

S_{пр} = S \cdot cos φ ⟹ cos φ = \frac{S _{пр}}{S} .

Отсюда часто находят и сам угол $φ$ между гранью и основанием, и площадь наклонного сечения по уже известной проекции.

Общий алгоритм работы со стереометрией

АЛГОРИТМ

Стратегия решения

1. Анализ условия и обоснование элементов. Выясни, куда падает высота. Если боковые рёбра равны — высота падает в центр описанной окружности основания. Если боковые грани равно наклонены к основанию — в центр вписанной. Докажи это текстом.
2. Выбор метода. Посмотри на фигуру. Если это куб, правильная призма или правильная пирамида с заданными отношениями отрезков — сразу вводи систему координат или базисные векторы. Если фигура нерегулярная (наклонная призма, произвольный тетраэдр) — используй классическую геометрию.
3. Разбиение на планиметрию. Не пытайся решить задачу, глядя на трёхмерный чертёж. Выноси все нужные грани, сечения и треугольники на отдельные плоские рисунки.
4. Применение теорем. Для доказательства перпендикулярности используй Теорему о трёх перпендикулярах (ТТП) или признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5. Проверка допустимости конфигурации. Убедись, что построенная конфигурация существует: проекция вершины действительно попадает внутрь основания (а не за его пределы), точка касания лежит на грани, корень из-под радикала неотрицателен. Это стереометрический аналог ОДЗ.

Метод координат

Стратегия советует в кубе, правильной призме и тетраэдре «сразу вводить координаты». Покажем явный координатный вариант (не только базисные векторы): он особенно короток для расстояния от точки до плоскости.

АЛГОРИТМ

Координатный метод за 4 шага

1. Расставь оси. Начало — в удобной вершине (центр основания, вершина прямого угла). Оси — вдоль рёбер. Запиши координаты всех нужных точек.
2. Найди нормаль плоскости $n = P Q \times P R$ (векторное произведение двух её направляющих) либо подбери коэффициенты уравнения $A x + B y + C z + D = 0 .$
3. Угол / расстояние по формуле (см. справочник, «Углы и расстояния»):

d (M, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}, sin α = \frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣ ∣ n ∣} (прямая - плоскость) .

4. Интерпретируй знак и модуль. Для углов между прямыми/плоскостями берут модуль косинуса (острый угол).

ПРИМЕР 0

Расстояние от вершины куба до плоскости сечения (координаты)

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $1$ найди расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_{1} B D .$

Примеры задач

Первый пример разберём классическим методом с использованием вспомогательной плоскости, а затем покажем тот же ответ заявленным методом объёмов.

ПРИМЕР 1

Расстояние между скрещивающимися прямыми

В треугольной пирамиде $S A B C$ основанием является равнобедренный прямоугольный треугольник $A B C$ с гипотенузой $A B = 4 .$ Боковые рёбра пирамиды равны $13 .$ Найди расстояние между скрещивающимися прямыми $S A$ и $B C .$

✓СОВЕТ

Тот же ответ методом объёмов

Покажем заявленный приём в деле. $ρ (S A, B C) = ρ (B, (S A D)),$ где $A D ∥ B C$ построено через $A .$ Рассмотрим тетраэдр $S A D B$ и найдём расстояние от $B$ до плоскости $(S A D)$ как $h = \frac{3 V _{S A D B}}{S _{S A D}} .$

Объём считаем удобно, взяв за основание $△ A B D$ (лежит в плоскости основания), а за высоту — $S H = 3 .$ Так как $A D ∥ B C$ и $∣ A D ∣$ можно взять равным $∣ B C ∣ = 22,$ треугольник $A B D$ имеет площадь $S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot d (D, A B) .$ Прямой расчёт в координатах ( $A = (- 2, 0, 0),$ $B = (2, 0, 0),$ $D = (- 4, 2, 0)$ ) даёт $S_{A B D} = 4,$ откуда

V_{S A D B} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B D} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4.

Площадь грани $S A D$ : $A S = (2, 0, 3),$ $A D = (- 2, 2, 0),$ $∣ A S \times A D ∣ = ∣ (- 6, - 6, 4) ∣ = 88 = 222,$ значит $S_{S A D} = 22 .$
Тогда

h = \frac{3 V _{S A D B}}{S _{S A D}} = \frac{3 \cdot 4}{22} = \frac{12}{22} = \frac{6 2}{11} .

Ответ совпал — метод объёмов нередко короче классического построения высоты в плоском треугольнике.

Второй пример решим векторным методом. Он идеален для вычисления углов, когда классические построения неочевидны.

ПРИМЕР 2

Векторный метод для угла

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны $2 .$ Найди косинус угла между прямыми $A B_{1}$ и $B C_{1} .$

Круглые тела: вписанные и описанные сферы

Это самый объёмный класс задач 7. Главный приём — осевое сечение: проводим плоскость через ось симметрии тела, и трёхмерная задача о шаре превращается в планиметрию вписанной/описанной окружности.

ВАЖНОЕ

Сферы в комбинациях (см. справочник, «Сферы»)

Вписанная сфера многогранника (касается всех граней): $r = \frac{3 V}{S _{полн}} .$
Сечение сферы плоскостью на расстоянии $d$ от центра — окружность радиуса $ρ = R^{2} - d^{2} .$
Описанная сфера: центр равноудалён от всех вершин; лежит на оси симметрии (для правильной пирамиды/призмы) на пересечении серединных перпендикуляров к рёбрам.
Шар, вписанный в конус (полуугол при вершине через $R, H$ ): радиус $r = \frac{R \cdot H}{R + l},$ $l = R^{2} + H^{2}$ (получается из вписанной окружности осевого треугольника).

✓СОВЕТ

Как ставить осевое сечение

1. Для правильной пирамиды — плоскость через вершину и середины двух противоположных рёбер основания. В сечении получается равнобедренный треугольник: основание = сторона основания $a$ (расстояние между серединами противоположных рёбер у квадрата), боковые стороны = апофемы пирамиды.
2. Вписанная сфера тела ⟺ вписанная окружность этого треугольника; описанная сфера ⟺ описанная окружность.
3. Дальше — чистая планиметрия ( $r = S / p,$ теорема синусов $ρ = \frac{a}{2 s i n A}$ и т.п.).

ПРИМЕР 3

Сфера, вписанная в правильную пирамиду (осевое сечение)

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6,$ высота равна $4 .$ Найди радиус вписанного шара двумя способами: через осевое сечение и через формулу $r = \frac{3 V}{S _{полн}} .$

Осевое сечение пирамиды со вписанным шаром

ПРИМЕР 4

Сфера, описанная около правильной пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4,$ высота равна $6 .$ Найди радиус описанной сферы.

Осевое сечение пирамиды с описанной сферой

Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол

Двугранный угол и угол наклона ребра — постоянные гости задачи 7. Метода два: линейный угол (классика, через ТТП) и площадь проекции $S_{пр} = S cos φ .$

ВАЖНОЕ

Линейный угол двугранного угла

Линейный угол двугранного угла при ребре $l$ — это угол между двумя лучами, выходящими из одной точки ребра и перпендикулярными $l$ (по одному в каждой грани). Перпендикулярность к ребру обязательно обосновывают (часто через ТТП). Угол прямой–плоскость — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.

ПРИМЕР 5

Двугранный угол при основании пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6,$ высота равна $4 .$ Найди двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Сечения многогранников

Заявленный, но частый класс: построить сечение, найти его площадь или отношение, в котором оно делит объём.

✓СОВЕТ

Метод следов (построение сечения)

1. Отметь данные точки на рёбрах/гранях.
2. Если две точки лежат в одной грани — соедини их (это сторона сечения).
3. След — прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью грани. Продолжай стороны сечения до пересечения с продолжениями рёбер основания, получая точки следа на плоскости основания.
4. Через найденные точки следа проводи новые стороны сечения в соседних гранях. Сечение замкнётся.

ВАЖНОЕ

Отношение объёмов с общим трёхгранным углом

Если на рёбрах $S A, S B, S C$ тетраэдра $S A B C$ из вершины $S$ взяты точки $A^{'}, B^{'}, C^{'},$ то

\frac{V _{S A^{'} B^{'} C^{'}}}{V _{S A B C}} = \frac{S A ^{'}}{S A} \cdot \frac{S B ^{'}}{S B} \cdot \frac{S C ^{'}}{S C} .

Площадь сечения часто проще искать через проекцию: $S = \frac{S _{пр}}{cos φ} .$

ПРИМЕР 6

В каком отношении сечение делит объём тетраэдра

В тетраэдре $S A B C$ на ребре $S A$ взята точка $M$ — его середина, на ребре $S B$ — точка $N$ такая, что $S N : S B = 1 : 3 .$ Плоскость $M N C$ рассекает тетраэдр. В каком отношении она делит объём?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Недоказанное положение центров и высот

Ошибка: Решая задачу про пирамиду, написать «Очевидно, центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды» или «Высота падает на биссектрису основания».
Как правильно: Доказывать каждый факт. Центр вписанной сферы лежит на высоте только если плоскость, проходящая через высоту и апофему, является биссекторной для двугранного угла при основании (что бывает в правильных пирамидах). Если пирамида произвольная, центр может лежать где угодно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница угла между плоскостями и линейного угла

Ошибка: Взять две произвольные прямые в плоскостях $α$ и $β,$ пересекающиеся на линии их пересечения, и заявить, что угол между ними — это двугранный угол.
Как правильно: Линейный угол двугранного угла образуется двумя лучами, перпендикулярными линии пересечения плоскостей. Обязательно доказывай эту перпендикулярность через Теорему о трёх перпендикулярах.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря случаев: проекция вершины вне основания (стереометрический аналог ОДЗ)

Ошибка: Молча предположить, что основание высоты (или центр описанной окружности) лежит внутри основания, и спокойно строить перпендикуляры «куда удобно».
Как правильно: У тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника, поэтому проекция вершины пирамиды с равными боковыми рёбрами тоже может оказаться вне основания. В наклонной призме проекция верхней грани смещена. Всегда проверяй: попадает ли проекция внутрь, существует ли конфигурация, неотрицательно ли подкоренное выражение. Если в осевом сечении вышло $ρ = R^{2} - d^{2}$ с $d > R$ — конфигурация невозможна, ищи ошибку.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак и модуль косинуса угла

Ошибка: Записать ответ для угла между прямыми (или плоскостями) с отрицательным косинусом, например $cos α = - \frac{1}{4} .$
Как правильно: Угол между прямыми и угол между плоскостями по определению острый (или прямой), поэтому берут модуль: $cos α = \frac{∣ ( u , v ) ∣}{∣ u ∣∣ v ∣} .$ Знак возникает только когда речь о конкретном направленном угле или о двугранном угле, тупизну которого видно из чертежа, — тогда модуль снимать нельзя и знак выбирают по рисунку.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают не только ответ, но и строгость каждого шага. Ниже — эталон полного решения и за что снимают «±».

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения задачи 7

1. Чертёж + введение обозначений. Аккуратный 3D-рисунок; буквой названа каждая точка, отдельно — что дано.
2. Обоснование ключевых элементов текстом. «Так как боковые рёбра равны, проекция вершины — центр описанной окружности основания (теорема о равных наклонных)». Никаких «очевидно».
3. Сведение к планиметрии. Вынести нужную грань/сечение на плоский чертёж, сослаться на ТТП / признак перпендикулярности при каждом прямом угле.
4. Вычисления с проверкой допустимости. Считать аккуратно; проверить, что конфигурация существует (проекция внутри, подкоренное $⩾ 0$ ).
5. Чёткий ответ в простейшем виде (рационализированный знаменатель, упрощённые радикалы).

✓СОВЕТ

За что снимают «±» (типичные потери)

«Очевидно» вместо доказательства положения центра/высоты — главный источник потери баллов на мехмате.
Прямой угол без обоснования (не сослался на ТТП или признак перпендикулярности) — линейный угол двугранного «повисает в воздухе».
Не проверена допустимость (проекция вершины вне основания, $отрицательного$ ) — даже при верной арифметике это логический разрыв.
Голые вычисления без текстового каркаса — за цепочку формул без объясняющих фраз снимают до половины баллов.
Неупрощённый/нерационализированный ответ — мелкая, но реальная потеря.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Время: Задание 7 — одно из самых трудоёмких. Оставляй на него не менее 30-40 минут.
Рисунки: Делай большой и аккуратный 3D-чертёж карандашом, но не перегружай его. Как только определил нужное сечение или грань — рисуй её отдельно на плоскости (2D). С плоскими рисунками проверяющим проще следить за твоей мыслью, а тебе — находить подобия и теорему Пифагора.
Векторы и координаты: Если задача про куб, правильную призму или тетраэдр, и нужно найти угол или расстояние — сразу вводи координаты. Это страхует от геометрических ошибок. Главное — аккуратно считать арифметику.
Круглые тела — через осевое сечение: комбинацию «пирамида + вписанный/описанный шар» почти всегда сводят к планиметрии вписанной/описанной окружности в осевом сечении. Это твой главный приём в самом сложном классе задач.
Обоснования: Пиши чёткие ссылки на теоремы. Вместо «отсюда угол прямой» пиши «по теореме о трёх перпендикулярах прямая $l$ перпендикулярна наклонной, следовательно...». За «голые» вычисления без текстового каркаса снимают до половины баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Многогранник описан около шара (сфера касается всех граней). Как выражается радиус вписанной сферы?

2.Боковые рёбра пирамиды равны. Куда падает высота из вершины?

3.При вычислении угла между прямыми через векторы получилось

cos α = - \frac{1}{4} .

Что писать в ответ?

4.На рёбрах

S A,

S B

тетраэдра

S A B C

взяты точки

M

N :

S M : S A = \frac{1}{2},

S N : S B = \frac{1}{3} .

Какова доля объёма тетраэдра

S M N C

от объёма

S A B C ?