Расстояния, углы, координаты и векторы — ДВИ

Когда стоит применять векторы и координаты

В задачах по стереометрии на ДВИ часто попадаются громоздкие конструкции: сечения под нестандартными углами, скрещивающиеся прямые в усечённых пирамидах или сложные отношения отрезков. Классический геометрический путь (через дополнительные построения и теорему косинусов) может занять страницы вычислений.

Векторно-координатный метод позволяет свести сложную геометрию к понятной алгебре. Если в задаче дан куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма или фигура с большим количеством прямых углов — смело вводи систему координат.

Тема называется широко — «Расстояния, углы, координаты и векторы». Поэтому конспект закрывает весь арсенал: координатный и базисный методы в пространстве, все три типа углов (между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями), все типы расстояний (до плоскости, между скрещивающимися прямыми), векторное и смешанное произведение, а в конце — координаты и векторы на плоскости (планиметрия). На ДВИ лист формул не выдают, поэтому ключевые формулы здесь не только записаны, но и снабжены кратким выводом или мнемоническим якорем.

Векторы в координатах: длина, скалярное произведение, угол

Для работы в координатах тебе нужно уметь находить длины, скалярные произведения и уравнения плоскостей. Пусть даны векторы $a = {x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ и $b = {x_{2}, y_{2}, z_{2}} .$

ВАЖНОЕ

Скалярное произведение и длина

Геометрическое определение (откуда всё растёт):

(a, b) = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ .

Координатная запись:

(a, b) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

∣ a ∣ = (a, a) = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}

Запомни оба определения сразу: координатное нужно в декартовом методе, а геометрическое $(a, b) = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$ — фундамент базисного метода (его разбираем ниже). Признак перпендикулярности: $a ⊥ b ⟺ (a, b) = 0 .$

Угол $φ$ между векторами $a$ и $b$ вычисляется напрямую из определения скалярного произведения (поделив геометрическую форму на $∣ a ∣∣ b ∣$ ):

ВАЖНОЕ

Угол между векторами

cos φ = \frac{( a , b )}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} + z _{1} z _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} + z _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} + z _{2}^{2}}

Координаты середины и точки деления отрезка

Эта формула молча используется всюду (середина ребра, центр грани), поэтому выпишем её явно — на ДВИ молчаливое применение без ссылки рубрика прощает, но лучше назвать.

ВАЖНОЕ

Середина и деление отрезка

Середина отрезка с концами $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и $Q (x_{2}, y_{2}, z_{2}) :$

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2}) .

Точка $K,$ делящая $P Q$ в отношении $P K : K Q = λ : μ$ (считая от $P$ ):

K = \frac{μ P + λ Q}{λ + μ}, покоординатно x_{K} = \frac{μ x _{1} + λ x _{2}}{λ + μ} .

Центр (точка пересечения диагоналей) параллелограмма/прямоугольника — середина любой из его диагоналей; центроид треугольника — среднее трёх вершин $\frac{A + B + C}{3} .$

Плоскости, нормаль и расстояние до плоскости

Вторая мощная часть метода — работа с плоскостями. Любая плоскость задаётся уравнением $A x + B y + C z + D = 0 .$ Вектор $n = {A, B, C}$ является нормалью к этой плоскости — он перпендикулярен любому вектору, лежащему в ней.

✎ЗАМЕТКА

Нормаль определена с точностью до множителя

Если умножить уравнение плоскости на любое ненулевое число $k,$ получится та же плоскость, а нормаль станет $k n .$ Значит, у плоскости бесконечно много нормалей, и все они коллинеарны. Это и есть «степень свободы», из-за которой при решении системы один коэффициент можно зафиксировать удобным числом (например, положить $C = - 1$ или $D = 1$ ) — мы просто выбираем конкретного представителя из семейства пропорциональных нормалей.

ВАЖНОЕ

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние $d$ от точки $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ до плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ равно:

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Откуда формула (мнемоника). Возьми любую точку $P$ на плоскости. Тогда $d$ — это модуль проекции вектора $P M_{0}$ на единичную нормаль: $d = \frac{∣ ( P M _{0} , n ) ∣}{∣ n ∣} .$ Раскрыв скалярное произведение и воспользовавшись тем, что $A P_{x} + B P_{y} + C P_{z} = - D$ (точка $P$ лежит на плоскости), получаешь числитель $∣ A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D ∣ .$ Числитель обязательно под модулем — расстояние неотрицательно (типичная ошибка — потерять модуль и получить отрицательное $d$ ).

Векторное и смешанное произведение

Чтобы не искать нормаль медленной системой из трёх уравнений, заведи в арсенал векторное произведение — оно даёт нормаль к плоскости за один шаг, а заодно площади и объёмы. Подробные формулы — в справочнике, раздел 9 «Векторы, координаты, произведения»; здесь приведём рабочую форму.

ВАЖНОЕ

Векторное произведение

$a \times b$ — вектор, перпендикулярный обоим $a$ и $b,$ длиной $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin φ$ (это площадь параллелограмма на $a, b$ ). Координатная формула — определитель:

a \times b = i x_{1} x_{2} j y_{1} y_{2} k z_{1} z_{2} = {y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}} .

Нормаль к плоскости $A B C$ одним действием: $n = A B \times A C .$

ВАЖНОЕ

Смешанное произведение

$(a, b, c) = (a \times b, c)$ — это определитель $3 \times 3$ из координат трёх векторов. Его модуль $∣ (a, b, c) ∣$ равен объёму параллелепипеда на этих векторах; объём тетраэдра $= \frac{1}{6}$ от него:

V_{тетр} = \frac{1}{6} ∣ (a, b, c) ∣, (a, b, c) = x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} z_{1} z_{2} z_{3} .

✓СОВЕТ

Зачем это на ДВИ

Нормаль за один шаг $n = A B \times A C$ — быстрее и надёжнее, чем система (см. альтернативу в Примере 2).
Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ — сразу, без высот.
Объём тетраэдра и расстояние между скрещивающимися прямыми считаются через смешанное произведение (Пример 6).

Три типа углов и два типа расстояний (сводка)

Эта таблица — стержень темы. Заметь критическую разницу: для угла прямая–плоскость используется синус, для остальных — косинус.

ВАЖНОЕ

Углы и расстояния в пространстве

Угол между прямыми (направляющие $u, v$ ):

cos φ = \frac{∣ ( u , v ) ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣} .

Угол между прямой и плоскостью (направляющая $u,$ нормаль $n$ ) — здесь синус:

sin α = \frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣ ∣ n ∣} .

Двугранный угол / угол между плоскостями (нормали $n_{1}, n_{2}$ ):

cos φ = \frac{∣ ( n _{1} , n _{2} ) ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣} .

Расстояние от точки до плоскости $A x + B y + C z + D = 0 :$

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} .

Расстояние между скрещивающимися прямыми (направляющие $u, v;$ $A, B$ — точки на них):

d = \frac{∣ ( A B , u , v ) ∣}{∣ u \times v ∣} .

Три типа углов: прямая-прямая, прямая-плоскость, плоскость-плоскость

Алгоритм решения в координатах

АЛГОРИТМ

Как оформить координатный метод на ДВИ

1. Задай систему координат. Обязательно напиши фразу: «Введём прямоугольную систему координат $O x y z .$ Начало координат поместим в точку $...,$ ось $O x$ направим вдоль \text{.} $..$ , $O y$ — вдоль \text{.} $..$ , $O z$ — вдоль \text{.} $..$ ». Убедись, что выбранные направления попарно перпендикулярны (в кубе/прямоугольном параллелепипеде это очевидно по прямым углам граней — так и напиши). Без описания осей проверяющий имеет право не засчитать решение.
2. Найди координаты нужных точек. Опирайся на длины рёбер и свойства фигуры; середины и центры граней считай по формуле середины/деления отрезка.
3. Составь векторы, нормали или уравнение плоскости. Для векторов вычти из координат конца координаты начала. Нормаль к плоскости бери как $A B \times A C$ (быстро) или через систему $A x + B y + C z + D = 0$ по трём точкам (надёжно, см. Пример 2).
4. Примени нужную формулу из сводки выше: угол (cos/sin!), расстояние или перпендикулярность ( $(a, b) = 0$ ).
5. Проверь себя. Подставь координаты исходных точек в уравнение плоскости; прикинь разумность ответа (угол не должен выходить за $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}],$ расстояние — положительно).

Примеры решений

Куб в системе координат с точками M и N примера 1

ПРИМЕР 1

Угол между скрещивающимися прямыми (декартовы координаты)

Условие. Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Точка $M$ — середина ребра $A_{1} B_{1},$ точка $N$ — центр грани $B C C_{1} B_{1} .$ Найдите косинус угла между прямыми $A M$ и $D N .$

ПРИМЕР 2

Расстояние от точки до плоскости (два способа найти нормаль)

Условие. В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ рёбра $A B = 2,$ $A D = 2,$ $A A_{1} = 4 .$ Найдите расстояние от вершины $A_{1}$ до плоскости $B D C_{1} .$

ПРИМЕР 3

Двугранный угол / угол между плоскостями через нормали

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите двугранный угол между плоскостью сечения $B D C_{1}$ и плоскостью основания $A B C D .$

ПРИМЕР 4

Угол между прямой и плоскостью (синус!)

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между диагональю боковой грани $A B_{1}$ и плоскостью основания $A B C D .$

ПРИМЕР 5

Расстояние между скрещивающимися прямыми (смешанное произведение)

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $2$ найдите расстояние между скрещивающимися прямыми $A C_{1}$ (диагональ куба) и $B D$ (диагональ основания).

Метод базисных векторов (без координат)

Если фигура «косая» (например, произвольный или правильный тетраэдр, наклонная призма), вводить прямоугольную декартову систему координат крайне неудобно. В таком случае задачу решают через базисные векторы.

Выбираются три некомпланарных вектора (обычно выходящие из одной вершины), их длины и попарные углы известны. Любой другой вектор фигуры выражается через эту тройку. Скалярное произведение раскрывается по линейности, а скалярные произведения базисных векторов считаются через геометрическое определение $(a, b) = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$ — поэтому важно не потерять ни одного члена при раскрытии и не считать базисные векторы перпендикулярными, если это не доказано.

ПРИМЕР 6

Базисные векторы в тетраэдре

Условие. Дан тетраэдр $A B C D,$ в котором $A B = B C = C D = 2,$ а $A C = A D = B D = 22 .$ Найдите угол между скрещивающимися прямыми $A B$ и $C D .$

Координаты и векторы на плоскости (планиметрия)

Тема называется «координаты и векторы» широко, и метод координат отлично работает и в планиметрии: достаточно ввести оси так, чтобы прямые углы фигуры легли на них. Базовые формулы — двумерные аналоги пространственных (см. также справочник, раздел 8 «Координаты на плоскости»).

ВАЖНОЕ

Координаты на плоскости

Расстояние между точками $A (x_{1}, y_{1})$ и $B (x_{2}, y_{2}) :$

∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} .

Середина $A B :$ $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2});$ точка деления в отношении $λ : μ$ — как в пространстве.
Прямая: $A x + B y + C = 0,$ нормаль ${A, B};$ расстояние от точки $M_{0}$ до прямой:

d (M_{0}, ℓ) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}} .

Угол между прямыми (направляющие $u, v$ ): $cos α = \frac{∣ ( u , v ) ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣} .$
Площадь треугольника через «двумерное векторное произведение» (псевдоскаляр):

S = \frac{1}{2} (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) .

ПРИМЕР 7

Угол между прямыми в квадрате (метод координат на плоскости)

Условие. В квадрате $A B C D$ со стороной $1$ точка $M$ — середина стороны $B C .$ Найдите косинус угла между прямыми $A M$ и $B D .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря модуля при поиске угла между прямыми/плоскостями

Ошибка: Вычислить скалярное произведение, получить отрицательное число, например $cos φ = - \frac{1}{2},$ и записать в ответ угол $12 0^{\circ} .$
Правильно: Угол между прямыми и между плоскостями по определению острый (или прямой). Обязательно ставь знак модуля в числителе: $cos φ = \frac{∣ ( a , b ) ∣}{∣ a ∣∣ b ∣} .$ Векторы могут образовывать тупой угол, а прямые — нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Синус и косинус для угла прямая–плоскость

Ошибка: Для угла между прямой и плоскостью подставить формулу с косинусом $cos α = \frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣∣ n ∣}$ и записать получившийся угол как ответ.
Правильно: В этой формуле слева стоит синус: $sin α = \frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣∣ n ∣},$ потому что $n$ — нормаль, а не направляющий вектор плоскости. Если по ошибке взять косинус, получится угол между прямой и нормалью ( $9 0^{\circ} - α$ ), а не искомый.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Направляющий вектор прямой вместо радиус-вектора точки

Ошибка: Для угла или расстояния взять координаты точки $M (2, 1, 2)$ как «вектор ${2, 1, 2}$ » вместо направляющего вектора прямой.
Правильно: Направляющий вектор прямой $P Q$ — это $P Q = {x_{Q} - x_{P}, y_{Q} - y_{P}, z_{Q} - z_{P}}$ (конец минус начало). Радиус-вектор одной точки задаёт направление только от начала координат — для произвольной прямой он неверен.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря модуля в расстоянии до плоскости

Ошибка: Подставить $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D$ без модуля и получить отрицательное «расстояние».
Правильно: Числитель формулы расстояния всегда под модулем: $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} ⩾ 0 .$ Знак выражения без модуля показывает лишь, по какую сторону от плоскости лежит точка.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря члена при раскрытии скалярного произведения в базисе

Ошибка: Раскрывая $(x, z - y),$ оставить только $(x, z)$ и «забыть» $- (x, y);$ либо считать базисные векторы перпендикулярными ( $(x, y) = 0$ ) без доказательства.
Правильно: Скалярное произведение линейно: $(x, z - y) = (x, z) - (x, y)$ — оба члена обязательны. Скалярные произведения базисных векторов считаются через $(a, b) = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$ и в косой фигуре, как правило, не равны нулю.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Произвольный выбор начала координат без описания осей

Ошибка: Сразу написать $A (0, 0, 0)$ и $B (1, 2, 0)$ без чертежа и текстового пояснения о том, как направлены оси. За это снимают баллы за недостаточность обоснования.
Правильно: Чётко прописывать: «Пусть начало координат находится в точке $A,$ ось $O x$ сонаправлена с $A B,$ ось $O y$ — с $A D .$ ..» — и убедиться, что выбранные направления попарно перпендикулярны (отметить оси на рисунке).

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важен не только верный ответ, но и полнота обоснования. В координатно-векторных задачах баллы теряют не на арифметике, а на пропущенных «очевидных» переходах. Ниже — что считается полным решением.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения координатным методом

1. Введи систему координат словами и обоснуй ортогональность осей: «рёбра $D A, D C, D D_{1}$ попарно перпендикулярны (грани прямоугольны), поэтому направим оси вдоль них». Это и есть доказательство, что базис ортонормирован в данной фигуре.
2. Выпиши координаты всех нужных точек, а нетривиальные (середины, центры граней, точки деления) — со ссылкой на формулу: « $N$ — центр грани = середина её диагонали».
3. Назови векторы/нормали явно: направляющий вектор прямой = конец минус начало; нормаль = $A B \times A C$ или из системы (отметив, что три точки не коллинеарны и нормаль ненулевая).
4. Применяй формулу с правильной тригонометрией: угол прямых/плоскостей — cos с модулем; угол прямая–плоскость — sin с модулем; расстояние — модуль в числителе.
5. Запиши ответ в требуемой форме (см. ниже) и проверь разумность: угол в $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}],$ расстояние положительно, подстановка точек в уравнение плоскости даёт ноль.

✓СОВЕТ

Форма ответа: косинус или градусы?

Если в условии просят «найдите угол» — доводи до величины: $φ = arccos \frac{3}{3}$ или $α = 4 5^{\circ}$ (если угол табличный). Если просят «найдите косинус (синус, тангенс) угла» — оставляй именно это значение, не переводя в градусы. Сверяйся с формулировкой: в Примере 1 просили косинус (ответ $\frac{2 30}{15}$ ), в Примерах 3–4 — угол (ответ через $arccos$ или в градусах). Несоответствие форме ответа рубрика трактует как неполноту.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» в координатных задачах

Координаты введены, но оси не описаны словами / не обоснована их перпендикулярность — частичный балл.
Нетривиальная точка (центр грани, точка деления) взята без обоснования её координат.
Перепутаны sin/cos в угле прямая–плоскость, или потерян модуль (угол вышел тупым, расстояние отрицательным).
Нормаль найдена, но не отмечено, что она ненулевая и что три точки не коллинеарны.
Ответ дан не в той форме, что требует условие (косинус вместо угла или наоборот).

Что запомнить

Много прямых углов (куб, призма, прямоугольный параллелепипед) — бери декартовы координаты. Косая фигура (тетраэдр, наклонная призма) — базис из трёх векторов.
Нормаль к плоскости ищи через $n = A B \times A C$ за один шаг; система $A x + B y + C z + D = 0$ — надёжная альтернатива (нормаль определена с точностью до множителя, потому коэффициент можно зафиксировать).
Три угла: прямые → $cos = \frac{∣ ( u , v ) ∣}{∣ u ∣∣ v ∣};$ прямая–плоскость → $sin = \frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣∣ n ∣}$ (синус!); плоскости → $cos = \frac{∣ ( n _{1} , n _{2} ) ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} .$
Расстояния: до плоскости → $\frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}};$ между скрещивающимися → $\frac{∣ ( A B , u , v ) ∣}{∣ u \times v ∣} .$
Метод координат работает и в планиметрии — вводи оси вдоль перпендикулярных сторон, дальше те же формулы в 2D.
Везде, где ищешь угол между прямыми/плоскостями, — модуль в числителе; расстояние — тоже под модулем.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Выбор метода — половина успеха в номере 7. Потрать $2 - 3$ минуты на оценку: легко ли найти классическое сечение? Если нет, но длины рёбер даны (или их можно обозначить за $a$ ) и в фигуре есть прямые углы — переходи в координаты; если фигура косая — в базис.
Лист формул не выдают: перед экзаменом убедись, что помнишь сводку «три угла + два расстояния» и формулу нормали через векторное произведение. Мнемоника для расстояния до плоскости — «нормаль скалярно на вектор к точке, делённое на длину нормали».
Если ищешь расстояние от точки до плоскости через объёмы ( $h = \frac{3 V}{S}$ ), проверь себя координатным методом, если останется время. Два независимых пути с совпавшим ответом — гарантия правильности.
Всегда проверяй уравнение плоскости: после того как нашёл $A, B, C, D,$ мысленно подставь координаты всех трёх исходных точек. Ошибка в знаке на этом этапе стоит всей задачи.

Проверь себя0 из 4

1.Для угла между прямой и плоскостью (направляющая

u,

нормаль

n

) формула

\frac{∣ ( u , n ) ∣}{∣ u ∣ ∣ n ∣}

равна...

2.Чему равна нормаль к плоскости, проходящей через точки

A,

B,

C,

найденная одним действием?

3.Даны

u = {0, 1, 2}

v = {1, 2, 1} .

Косинус угла между прямыми с такими направляющими равен...

4.Расстояние от точки

M_{0} (1, 0, 2)

до плоскости

2 x - 2 y + z = 0

равно...