Суть темы

На ДВИ по математике задачи на последовательности и прогрессии (обычно это номера 2 или 6) редко сводятся к банальному применению школьных формул. Здесь от тебя потребуется умение составлять и решать нелинейные системы уравнений, работать с рекуррентными соотношениями (когда каждый следующий член выражается через предыдущие) и находить суммы нестандартных рядов с помощью искусственных преобразований.

Любая задача на стандартные прогрессии сводится к текстовой задаче: нужно ввести базовые переменные (первый член и шаг/знаменатель) и перевести условие в систему алгебраических уравнений.

Основные формулы

Формулы прогрессий на экзамене не выдают, их нужно знать досконально. Любой член прогрессии однозначно определяется её первым членом и шагом (или знаменателем).

Арифметическая прогрессия (АП)

Задаётся условием $a_{n + 1} = a_{n} + d .$
Общий член:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Характеристическое свойство: любой член (кроме первого) равен среднему арифметическому соседей:

a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}

Геометрическая прогрессия (ГП)

Задаётся условием $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q,$ где $q \neq = 0$ и $b_{1} \neq = 0 .$
Общий член:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq = 1$ ):

S_{n} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Характеристическое свойство: квадрат любого члена (кроме первого) равен произведению соседей:

b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}

(Если все члены положительны, $b_{k}$ — среднее геометрическое соседей: $b_{k} = b_{k - 1} b_{k + 1}$ ).

Главные методы решения

1. Переход к базовым переменным

Если дана смесь АП и ГП, вырази все члены через $a_{1}$ и $d$ (для арифметической) или $b_{1}$ и $q$ (для геометрической). Уравнений должно получиться ровно столько же, сколько неизвестных. Полученную систему решай подстановкой или группировкой.

2. Метод «телескопических» сумм

Если нужно найти сумму огромного числа слагаемых (например, 100 или 2024), лоб в лоб считать нельзя. Ищи способ представить каждое слагаемое в виде разности $f (k) - f (k + 1) .$ При сложении все промежуточные члены взаимно уничтожатся («схлопнутся» как подзорная труба).

Типичные разложения для ДВИ:

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$
$\frac{1}{k + k + 1} = k + 1 - k$ (домножение на сопряжённое)

3. Исследование рекуррентных соотношений

Если последовательность задана сложным правилом, посчитай вручную первые 4-5 членов. Заметь закономерность (например, последовательность зацикливается или является суммой квадратов) и строго докажи её, либо найди способ свернуть рекуррентное выражение.

Примеры разбора задач

Пример 1. Смесь прогрессий

Сумма трёх чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна $15 .$ Если к первому числу прибавить $1,$ ко второму $4,$ а к третьему $19,$ то получатся три числа, образующие геометрическую прогрессию. Найди исходные числа.

Показать решение

Пусть искомые числа — это члены арифметической прогрессии: $a - d,$ $a,$ $a + d .$
(Такая запись удобнее, чем $a_{1}, a_{1} + d, a_{1} + 2 d,$ так как сразу упрощает сумму).

По условию их сумма равна $15 :$

(a - d) + a + (a + d) = 15 ⟺ 3 a = 15 ⟺ a = 5

Значит, наши числа: $5 - d,$ $5,$ $5 + d .$ Условие гласит, что прогрессия возрастающая, поэтому $d > 0 .$

После прибавления заданных чисел получаем новую тройку:
1. $(5 - d) + 1 = 6 - d$
2. $5 + 4 = 9$
3. $(5 + d) + 19 = 24 + d$

Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Применим характеристическое свойство ГП (квадрат среднего равен произведению крайних):

9^{2} = (6 - d) (24 + d)

81 = 144 + 6 d - 24 d - d^{2}

d^{2} + 18 d - 63 = 0

Решаем квадратное уравнение:
$D = 1 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63) = 324 + 252 = 576 = 2 4^{2} .$

d = \frac{- 18 \pm 24}{2} ⟹ d_{1} = 3, d_{2} = - 21.

Так как прогрессия возрастающая, $d > 0,$ поэтому подходит только $d = 3 .$
Исходные числа: $5 - 3 = 2,$ $5,$ $5 + 3 = 8 .$

Ответ: $2, 5, 8 .$

Пример 2. Телескопическая сумма

Вычисли сумму 99 слагаемых:

S = \frac{10}{1 + 2} + \frac{10}{1 + 2 + 3} + \frac{10}{1 + 2 + 3 + 4} + \dots + \frac{10}{1 + 2 + \dots + 100}

Показать решение

Рассмотрим общий вид $k$ -го слагаемого в этой сумме (начиная с $k = 2$ до $k = 100$ ). Знаменатель представляет собой сумму арифметической прогрессии от $1$ до $k :$

1 + 2 + \dots + k = \frac{1 + k}{2} \cdot k

Тогда $k$ -е слагаемое можно переписать так:

a_{k} = \frac{10}{\frac{k ( k + 1 )}{2}} = \frac{20}{k ( k + 1 )}

Применим метод разложения на простейшие дроби:

a_{k} = 20 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})

Теперь распишем всю искомую сумму $S,$ подставляя $k = 2, 3, \dots, 100 :$

S = 20 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + 20 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + 20 (\frac{1}{100} - \frac{1}{101})

Вынесем общий множитель $20$ и заметим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

S = 20 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{100} - \frac{1}{101})

S = 20 (\frac{1}{2} - \frac{1}{101}) = 20 \cdot \frac{101 - 2}{202} = 20 \cdot \frac{99}{202} = \frac{990}{101}

Ответ: $\frac{990}{101} .$

Пример 3. Последовательность с пропущенными членами

Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть $a_{1} = 2,$ $a_{2} = 3,$ $a_{3} = 5,$ $a_{4} = 6,$ $a_{5} = 7,$ $a_{6} = 8,$ $a_{7} = 10$ и т.д.). Найди $a_{1000} .$

Показать решение

Заметим, что значение $n$ -го члена последовательности $a_{n}$ равно $n$ плюс количество вычеркнутых квадратов, которые оказались меньше $a_{n} .$
Если число $a_{n}$ находится между квадратами $k^{2}$ и $(k + 1)^{2},$ то перед ним вычеркнуто ровно $k$ чисел ( $1^{2}, 2^{2}, \dots, k^{2}$ ).
Значит, $a_{n} = n + k .$

Нам нужно найти $a_{1000} .$ Оценим, сколько квадратов находится до тысячного члена.
Поскольку $1000 \approx 31, 6,$ разумно предположить, что будет вычеркнуто около $31$ или $32$ чисел.
Проверим натуральное число $N = 1032 .$
Количество полных квадратов, не превосходящих $1032,$ равно $32$ (так как $3 2^{2} = 1024,$ а $3 3^{2} = 1089 > 1032$ ).

Найдём, сколько в ряду натуральных чисел от $1$ до $1032$ чисел, не являющихся квадратами:

1032 - 32 = 1000

Так как $1032$ само по себе не является полным квадратом, оно и есть ровно тысячное невычеркнутое число.
Следовательно, $a_{1000} = 1032 .$

Ответ: $1032 .$

Частые ошибки

Необоснованное деление на

q - 1

Ошибка: при решении уравнения вида $b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 7$ записать левую часть по формуле суммы $\frac{b _{1} ( q ^{3} - 1 )}{q - 1} = 7$ и умножить крест-накрест, не проверив $q = 1 .$
Правильно: формула суммы ГП с дробями работает только при $q \neq = 1 .$ Если $q$ неизвестно, всегда начинай с рассмотрения двух случаев: 1) $q = 1 ⟹ S_{n} = n \cdot b_{1};$ 2) $q \neq = 1 ⟹$ применяй формулу дроби.

Потеря корней при

d = 0

или

q < 0

Ошибка: считать, что раз прогрессия геометрическая, её знаменатель обязательно положителен.
Правильно: знаменатель ГП может быть отрицательным (тогда знаки членов чередуются: $2, - 4, 8, - 16$ ). Арифметическая прогрессия может иметь шаг $d = 0$ (стационарная последовательность $5, 5, 5, 5$ ). Не отбрасывай такие корни алгебраических систем, если в условии явно не сказано «строго возрастающая/убывающая».

Что запомнить

Три члена АП: если в задаче фигурируют 3 или 5 членов арифметической прогрессии, обозначай их симметрично относительно центрального: $a - d, a, a + d .$ Это моментально упростит уравнения сумм.
Телескопы: если в задаче просят сложить гигантское количество дробей/корней — не паникуй. Ищи разность $f (k) - f (k + 1),$ выписывай первые 3 и последние 2 слагаемых явно, и вычёркивай диагонально всё, что сокращается.
Характеристические свойства работают быстрее, чем переход к $a_{1}$ и $d,$ если даны только соседние члены прогрессий.

Стратегия на ДВИ

Подход к нестандартным последовательностям

В текстовых задачах на прогрессии проверяющие строго смотрят на равносильность переходов при решении алгебраических систем. Нельзя терять решения квадратных уравнений для $q$ или $d .$
Если тебе попалась абстрактная рекуррентная последовательность (как в Примере 3 или задаче вида $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ ), всегда вычисляй на черновике первые 4-5 значений.
Увидев закономерность (например, $a_{n} = \frac{1}{n}$ ), не пиши «очевидно, что общая формула такая-то». Докажи её при помощи метода математической индукции или строгих алгебраических оценок. За угаданный, но не доказанный ответ баллов не дадут.