Последовательности — ДВИ

Суть темы

На ДВИ по математике задачи на последовательности и прогрессии (обычно это номера 2 или 6) редко сводятся к банальному применению школьных формул. Здесь от тебя потребуется умение составлять и решать нелинейные системы уравнений, работать с рекуррентными соотношениями (когда каждый следующий член выражается через предыдущие), исследовать последовательность на монотонность, ограниченность и предел, а также находить суммы нестандартных рядов с помощью искусственных преобразований.

Любая задача на стандартные прогрессии сводится к текстовой задаче: нужно ввести базовые переменные (первый член и шаг/знаменатель) и перевести условие в систему алгебраических уравнений.

Основные формулы

Формулы прогрессий на экзамене не выдают, их нужно знать досконально. Любой член прогрессии однозначно определяется её первым членом и шагом (или знаменателем). Полный список формул — в spravochnik-dvi.md, раздел 5 «Прогрессии и последовательности».

ВАЖНОЕ

Арифметическая прогрессия (АП)

Задаётся условием $a_{n + 1} = a_{n} + d .$
Общий член:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Характеристическое свойство: любой член (кроме первого) равен среднему арифметическому соседей:

a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}

ВАЖНОЕ

Геометрическая прогрессия (ГП)

Задаётся условием $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q,$ где $q \neq = 0$ и $b_{1} \neq = 0 .$
Общий член:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq = 1$ ):

S_{n} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Характеристическое свойство: квадрат любого члена (кроме первого) равен произведению соседей:

b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}

(Если все члены положительны, $b_{k}$ — среднее геометрическое соседей: $b_{k} = b_{k - 1} b_{k + 1}$ ).

ВАЖНОЕ

Бесконечно убывающая ГП (сумма ряда)

Если $∣ q ∣ < 1,$ то частичные суммы $S_{n} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ имеют конечный предел, потому что $q^{n} \to 0$ при $n \to \infty .$ Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = \frac{b _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1.

Условие $∣ q ∣ < 1$ обязательно: при $∣ q ∣ ⩾ 1$ ряд расходится и формула неприменима. Главное применение на ДВИ — перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Вывод формул сумм (если забыл под стрессом)

Раз лист формул не выдают, важно уметь не зубрить, а восстанавливать формулы суммы за полминуты прямо на черновике.

ВАЖНОЕ

Вывод суммы АП — сложение «прямо и обратно»

Запишем сумму $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ дважды: в прямом и в обратном порядке.

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{1}

Сложим столбиком. В каждом столбце стоит пара вида $a_{k} + a_{n - k + 1},$ а у АП сумма равноудалённых от концов членов постоянна: $a_{k} + a_{n - k + 1} = a_{1} + a_{n} .$ Столбцов ровно $n,$ поэтому

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) ⟹ S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n .

ВАЖНОЕ

Вывод суммы ГП — домножение на

q

Пусть $S_{n} = b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + \dots + b_{1} q^{n - 1} .$ Домножим обе части на $q :$

q S_{n} = b_{1} q + b_{1} q^{2} + \dots + b_{1} q^{n - 1} + b_{1} q^{n} .

Вычтем первое равенство из второго — все средние слагаемые сократятся:

q S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1} ⟹ S_{n} (q - 1) = b_{1} (q^{n} - 1) .

При $q \neq = 1$ делим: $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} .$ Деление на $(q - 1)$ корректно ровно потому, что мы заранее оговорили $q \neq = 1 .$

Главные методы решения

1. Переход к базовым переменным

Если дана смесь АП и ГП, вырази все члены через $a_{1}$ и $d$ (для арифметической) или $b_{1}$ и $q$ (для геометрической). Уравнений должно получиться ровно столько же, сколько неизвестных. Полученную систему решай подстановкой или группировкой.

2. Метод «телескопических» сумм

Если нужно найти сумму огромного числа слагаемых (например, 100 или 2024), лоб в лоб считать нельзя. Ищи способ представить каждое слагаемое в виде разности $f (k) - f (k + 1) .$ При сложении все промежуточные члены взаимно уничтожатся («схлопнутся» как подзорная труба).

Типичные разложения для ДВИ:

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$
$\frac{1}{k + k + 1} = k + 1 - k$ (домножение на сопряжённое)

3. Исследование рекуррентных соотношений

Если последовательность задана сложным правилом, посчитай вручную первые 4-5 членов. Дальше возможны два сценария:

Свернуть и доказать формулу. Заметь закономерность (например, $a_{n} = \frac{1}{n}$ ) и строго докажи её методом математической индукции (см. Пример 4).
Исследовать поведение, не зная явной формулы. Когда явная формула не угадывается, но спрашивают предел или оценку, доказывают монотонность и ограниченность последовательности (тогда предел существует), а сам предел $L$ находят из уравнения неподвижной точки: переходя к пределу в рекуррентном соотношении $a_{n + 1} = f (a_{n}),$ получают $L = f (L)$ (см. Пример 5).

4. Метод математической индукции

Универсальный инструмент доказательства утверждений «для всех натуральных $n$ ». Эталон оформления под рубрику ДВИ:

1. База. Проверяем утверждение при $n = 1$ (или другом стартовом $n_{0}$ ).
2. Предположение индукции. Допускаем, что утверждение верно при $n = k .$
3. Шаг. Опираясь только на предположение, доказываем утверждение при $n = k + 1 .$
4. Вывод. «По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных $n$ ».

Пропуск любого из четырёх пунктов — повод снять баллы. Угаданная, но не доказанная формула баллов не приносит.

Примеры разбора задач

ПРИМЕР 1

Смесь прогрессий

Сумма трёх чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна $15 .$ Если к первому числу прибавить $1,$ ко второму $4,$ а к третьему $19,$ то получатся три числа, образующие геометрическую прогрессию. Найди исходные числа.

ПРИМЕР 2

Телескопическая сумма

Вычисли сумму 99 слагаемых:

S = \frac{10}{1 + 2} + \frac{10}{1 + 2 + 3} + \frac{10}{1 + 2 + 3 + 4} + \dots + \frac{10}{1 + 2 + \dots + 100}

ПРИМЕР 3

Телескоп на корнях

Вычисли сумму $99$ слагаемых:

T = \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \frac{1}{3 + 4} + \dots + \frac{1}{99 + 100}

ПРИМЕР 4

Угадать формулу и доказать индукцией

Последовательность задана рекуррентно: $a_{1} = 1$ и $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ для всех $n ⩾ 1 .$ Найди формулу общего члена $a_{n}$ и строго докажи её.

ПРИМЕР 5

Монотонность, ограниченность, предел

Последовательность задана так: $a_{1} = 1$ и $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ для всех $n ⩾ 1 .$ Докажи, что последовательность имеет предел, и найди его.

ПРИМЕР 6

Бесконечно убывающая ГП: периодическая дробь

Представь бесконечную периодическую десятичную дробь $0, 4 (6) = 0, 4666 \dots$ в виде обыкновенной дроби, используя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

ПРИМЕР 7

Прогрессия с параметром (анонсированный

q = cos x

)

При каких $x \in [0; 2 π)$ сумма бесконечной геометрической прогрессии

1 + cos x + cos^{2} x + cos^{3} x + \dots

существует и равна $\frac{4}{3} ?$

ПРИМЕР 8

Последовательность с пропущенными членами

Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть $a_{1} = 2,$ $a_{2} = 3,$ $a_{3} = 5,$ $a_{4} = 6,$ $a_{5} = 7,$ $a_{6} = 8,$ $a_{7} = 10$ и т.д.). Найди $a_{1000} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное деление на

q - 1

Ошибка: при решении уравнения вида $b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 7$ записать левую часть по формуле суммы $\frac{b _{1} ( q ^{3} - 1 )}{q - 1} = 7$ и умножить крест-накрест, не проверив $q = 1 .$
Правильно: формула суммы ГП с дробями работает только при $q \neq = 1 .$ Если $q$ неизвестно, всегда начинай с рассмотрения двух случаев: 1) $q = 1 ⟹ S_{n} = n \cdot b_{1};$ 2) $q \neq = 1 ⟹$ применяй формулу дроби.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней при

d = 0

или

q < 0

Ошибка: считать, что раз прогрессия геометрическая, её знаменатель обязательно положителен.
Правильно: знаменатель ГП может быть отрицательным (тогда знаки членов чередуются: $2, - 4, 8, - 16$ ). Арифметическая прогрессия может иметь шаг $d = 0$ (стационарная последовательность $5, 5, 5, 5$ ). Не отбрасывай такие корни алгебраических систем, если в условии явно не сказано «строго возрастающая/убывающая». И наоборот — если в условии есть монотонность, то отбрасывать корень нужно именно по ней и явно это проговаривать (см. разбор корня $d = - 21$ в Примере 1: он даёт законную ГП, но отсекается требованием возрастания).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применение

S = \frac{b _{1}}{1 - q}

без проверки

∣ q ∣ < 1

Ошибка: записать сумму бесконечной ГП по формуле $\frac{b _{1}}{1 - q},$ не убедившись, что $∣ q ∣ < 1 .$ При $∣ q ∣ ⩾ 1$ ряд расходится, и «сумма» не существует — формула выдаёт бессмысленное число.
Правильно: для бесконечной ГП первым делом выпиши условие сходимости $∣ q ∣ < 1$ (если $q$ зависит от параметра — это неравенство на параметр, см. Пример 7), и только затем применяй формулу. Конечная сумма $S_{n}$ существует всегда, бесконечная $S$ — только при $∣ q ∣ < 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Угадал — значит доказал»

Ошибка: вычислить первые члены рекуррентной последовательности, увидеть формулу (например $a_{n} = \frac{1}{n}$ ) и написать «очевидно, что общая формула такая».
Правильно: угадывание формулы — это только черновик. Под рубрику ДВИ нужно строгое доказательство: либо индукция (Пример 4), либо алгебраическая свёртка рекуррентного выражения. За угаданный, но не доказанный ответ баллов не дают.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике с частичными баллами («±»): засчитывают не финальный ответ, а корректную логическую цепочку с обоснованиями. Лист формул не выдают, поэтому каждую нестандартную формулу полезно либо вывести (см. блок «Вывод формул сумм»), либо явно сослаться на стандартный факт.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения на прогрессии

1. Введи переменные и явно запиши, что они означают ( $a_{1}, d$ или $b_{1}, q;$ для трёх членов АП — симметрично $a - d, a, a + d$ ).
2. Выпиши ограничения из условия сразу: $q \neq = 0,$ $b_{1} \neq = 0,$ $d > 0$ при «возрастающая», $∣ q ∣ < 1$ для бесконечной суммы.
3. Составь уравнения/систему, переводя каждое предложение условия в формулу. Следи за равносильностью переходов.
4. Реши систему, не теряя корней квадратных уравнений для $d$ или $q .$
5. Отбери корни по ограничениям шага 2 — и обоснуй каждый отброшенный корень (почему именно он не подходит: нарушает монотонность? выходит за ОДЗ? делает $q = 1 ?$ ).
6. Проверь найденное решение подстановкой в исходное условие.
7. Запиши ответ в требуемом виде.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (теряют часть баллов)

Деление на $(q - 1)$ или $(1 - q)$ без оговорки $q \neq = 1$ — даже если ответ верный, потерян случай $q = 1 .$
Применение $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ без проверки $∣ q ∣ < 1$ — отсутствует обоснование сходимости.
«Молчаливое» отбрасывание корня — корень отброшен, но не сказано, какое именно условие он нарушает (как $d = - 21$ в Примере 1).
Угаданная формула без доказательства — индукция декларирована, но не проведена (нет одного из четырёх пунктов: база / предположение / шаг / вывод).
Потеря серии решений в тригонометрии при переменном $q = cos x$ (не записаны оба значения $x$ на периоде).
Нет проверки/обоснования единственности, когда условие (например, возрастание) гарантирует единственный корень — это стоит проговорить.

Что запомнить

Три члена АП: если в задаче фигурируют 3 или 5 членов арифметической прогрессии, обозначай их симметрично относительно центрального: $a - d, a, a + d .$ Это моментально упростит уравнения сумм.
Телескопы: если в задаче просят сложить гигантское количество дробей/корней — не паникуй. Ищи разность $f (k) - f (k + 1),$ выписывай первые 3 и последние 2 слагаемых явно, и вычёркивай диагонально всё, что сокращается.
Бесконечная ГП: формула $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ работает только при $∣ q ∣ < 1;$ для периодической дроби выдели непериодическую часть и геометрический «хвост».
Рекурренты: посчитай первые 4-5 членов. Если формула угадывается — докажи индукцией; если нет — доказывай монотонность + ограниченность и ищи предел из $L = f (L) .$
Характеристические свойства работают быстрее, чем переход к $a_{1}$ и $d,$ если даны только соседние члены прогрессий.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Подход к нестандартным последовательностям

В текстовых задачах на прогрессии проверяющие строго смотрят на равносильность переходов при решении алгебраических систем. Нельзя терять решения квадратных уравнений для $q$ или $d .$
Если тебе попалась абстрактная рекуррентная последовательность (как в Примере 4 вида $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ или Примере 5 вида $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ ), всегда вычисляй на черновике первые 4-5 значений.
Увидев закономерность (например, $a_{n} = \frac{1}{n}$ ), не пиши «очевидно, что общая формула такая-то». Докажи её при помощи метода математической индукции или строгих алгебраических оценок. За угаданный, но не доказанный ответ баллов не дадут.
Для предела рекуррентной последовательности сначала докажи, что предел существует (монотонность + ограниченность), и только потом находи его значение из уравнения неподвижной точки $L = f (L)$ — иначе можно «найти» предел у расходящейся последовательности.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии с

b_{1} = 6

q = \frac{1}{3} ?

2.При каком условии применима формула

S = \frac{b _{1}}{1 - q}

для бесконечной ГП?

3.Как удобнее обозначить три последовательных члена арифметической прогрессии, если известна их сумма?

4.Последовательность задана:

a_{1} = 1,

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}} .

Чему равно

a_{4} ?