О задании 2 ДВИ МГУ

Второе задание ДВИ МГУ — это мост между чисто техническими вычислениями первого номера и более сложной алгеброй последующих. Обычно это задача на числа и последовательности.

В отличие от первой задачи, здесь редко достаточно просто применить формулу. От тебя потребуется составить математическую модель (систему уравнений), увидеть её структурные особенности (например, что переменных больше, чем уравнений) и использовать свойства целых чисел или прогрессий для нахождения единственно возможного ответа.

Какие темы встречаются

Банк второго задания опирается на три основных кита:
1. Прогрессии (арифметическая и геометрическая). Задачи, где нужно найти элементы прогрессии, суммы её членов, или смешанные задачи, где одни и те же числа образуют арифметическую прогрессию, а после сдвига — геометрическую.
2. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными. Сюжет может быть любым (рабочие, детали, трубы, движение), но ключевая идея в том, что искомые величины — натуральные числа. Это приводит к диофантовым уравнениям (уравнениям в целых числах).
3. Делимость и остатки. Задачи на десятичную запись числа (цифры числа), признаки делимости, выделение целой части из дроби.

Базовый арсенал

На экзамене не будет справочных материалов. Все формулы нужно держать в голове и уметь применять "с закрытыми глазами".

Арифметическая прогрессия (АП)

Каждый следующий член получается прибавлением разности $d :$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Свойство среднего: $a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}$

Геометрическая прогрессия (ГП)

Каждый следующий член получается умножением на знаменатель $q \neq = 0 :$

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов ( $q \neq = 1$ ):

S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Свойство среднего (для знакопостоянной ГП): $b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}$

Стратегия и алгоритм подхода

Столкнувшись со вторым номером, действуй по следующему плану:

Алгоритм работы с заданием 2

1. Введи переменные. Обозначь неизвестные. Если это задача на прогрессии — сразу переходи к базовым элементам ( $a_{1}$ и $d,$ либо $b_{1}$ и $q$ ). Не плоди переменные $a_{2}, a_{3}, a_{5} .$
2. Запиши ограничения. Явно зафиксируй в чистовике: какие переменные строго больше нуля, какие обязаны быть целыми ( $x \in Z$ ) или натуральными ( $n \in N$ ).
3. Составь систему. Переведи каждое условие текста в алгебраическое уравнение.
4. Оцени количество уравнений и неизвестных.

Если уравнений столько же, сколько неизвестных — решай стандартно (подстановкой или сложением).
Если неизвестных больше (например, одно уравнение с двумя переменными) — перед тобой задача на целые числа. Используй разложение на множители, выделение полного квадрата или оценку через неравенства.

Примеры решения задач

Разберем две типичные ситуации: комбинацию прогрессий и уравнение в целых числах.

Пример 1. Комбинация прогрессий

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если первое число уменьшить на $1,$ второе оставить без изменений, а третье увеличить на $1,$ то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найди исходные числа, если известно, что их сумма равна $15 .$

Показать решение

Пусть исходные числа образуют арифметическую прогрессию. Удобно обозначить их симметрично: $a - d,$ $a,$ $a + d,$ где $d$ — разность прогрессии.

Запиши условие для их суммы:

(a - d) + a + (a + d) = 15 ⟹ 3 a = 15 ⟹ a = 5.

Значит, исходные числа имеют вид: $5 - d,$ $5,$ $5 + d .$

После изменений (первое уменьшили на $1,$ третье увеличили на $1$ ) получим новые числа:

(5 - d) - 1 = 4 - d

5

(5 + d) + 1 = 6 + d

По условию числа $4 - d,$ $5$ и $6 + d$ образуют геометрическую прогрессию. Примени характеристическое свойство ГП (квадрат среднего равен произведению крайних):

5^{2} = (4 - d) (6 + d)

25 = 24 + 4 d - 6 d - d^{2}

d^{2} + 2 d + 1 = 0

(d + 1)^{2} = 0 ⟹ d = - 1.

Найдем исходные числа, подставив $d = - 1$ в выражения $5 - d,$ $5,$ $5 + d :$
Первое число: $5 - (- 1) = 6 .$
Второе число: $5 .$
Третье число: $5 + (- 1) = 4 .$

Проверка: $6, 5, 4$ — арифметическая прогрессия. Измененные числа: $5, 5, 5$ — геометрическая прогрессия (со знаменателем $q = 1$ ). Условия выполнены.

Ответ: $6; 5; 4 .$

Пример 2. Уравнение в целых числах

Найди все пары целых чисел $(x; y),$ удовлетворяющие уравнению:

x^{2} - x y - 2 y^{2} = 7

Показать решение

Перед нами одно уравнение с двумя неизвестными. Поскольку $x, y \in Z,$ необходимо разложить левую часть на множители.

Разложим на множители выражение $x^{2} - x y - 2 y^{2} .$ Для этого представим $- x y$ как $x y - 2 x y :$

x^{2} + x y - 2 x y - 2 y^{2} = 7

Сгруппируем:

x (x + y) - 2 y (x + y) = 7

(x - 2 y) (x + y) = 7

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2 y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно простому числу $7 .$ Целые делители числа $7$ — это $\pm 1$ и $\pm 7 .$ Возникает четыре возможных системы:

Случай 1:

{x - 2 y = 1 x + y = 7

Вычтем из второго уравнения первое: $3 y = 6 ⟹ y = 2 .$
Тогда $x = 7 - 2 = 5 .$
Пара $(5; 2)$ — целая, подходит.

Случай 2:

{x - 2 y = 7 x + y = 1

Вычтем из второго первое: $3 y = - 6 ⟹ y = - 2 .$
Тогда $x = 1 - (- 2) = 3 .$
Пара $(3; - 2)$ — подходит.

Случай 3:

{x - 2 y = - 1 x + y = - 7

Вычтем из второго первое: $3 y = - 6 ⟹ y = - 2 .$
Тогда $x = - 7 - (- 2) = - 5 .$
Пара $(- 5; - 2)$ — подходит.

Случай 4:

{x - 2 y = - 7 x + y = - 1

Вычтем из второго первое: $3 y = 6 ⟹ y = 2 .$
Тогда $x = - 1 - 2 = - 3 .$
Пара $(- 3; 2)$ — подходит.

Ответ: $(5; 2), (3; - 2), (- 5; - 2), (- 3; 2) .$

Частые ошибки

Потеря прогрессий с нулевой разностью

Ошибка: Делать вывод, что если знаменатель ГП равен $1,$ или разность АП равна $0,$ то это "неправильная" прогрессия и отбрасывать этот случай.
Правильно: Последовательность одинаковых чисел (например, $5, 5, 5$ ) одновременно является и арифметической прогрессией (с $d = 0$ ), и геометрической (с $q = 1$ ). Отбрасывать такие решения можно только если в условии явно сказано "возрастающая" или "убывающая" прогрессия, либо "с ненулевой разностью".

Ошибка "плюс-минус один" при подсчете членов

Ошибка: Считать, что количество целых чисел от $k$ до $n$ (включая концы) равно $n - k .$ Например, что с $5$ -го по $10$ -й член прогрессии находится $10 - 5 = 5$ членов.
Правильно: Количество членов на отрезке $[k; n]$ вычисляется по формуле $n - k + 1 .$ С $5$ -го по $10$ -й включительно находится $10 - 5 + 1 = 6$ членов ( $a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}, a_{1} 0$ ).

Что запомнить

Симметричные обозначения облегчают жизнь: если нужно найти три члена АП, обозначай их $a - d, a, a + d .$ Сумма сразу даст $3 a .$
Если в задаче фигурируют "детали", "рабочие", "студенты" — это сигнал к поиску целочисленных ограничений. Указывай $x \in N .$
Произведение двух целых скобок равно простому числу — классический метод перебора делителей для диофантовых уравнений на ДВИ.

Стратегия на экзамене

Оптимальное время на второе задание — 20-25 минут.
Обязательно выпиши все ОДЗ, если в задаче встречаются дроби или корни (даже если это текстовая задача). Проверяющие ДВИ строго карают за деление на переменную без проверки её равенства нулю. Если делишь уравнение на $x$ или на $(q - 1),$ всегда пиши: "Пусть $q = 1 .$ Тогда... (доказываешь, что не подходит). Пусть $q \neq = 1 .$ Разделим обе части на $(q - 1) .$ ..". Обоснованность каждого перехода приносит баллы.