Показательные неравенства — ДВИ

Суть темы и главное свойство

Показательные неравенства на ДВИ МГУ проверяют не только знание свойств степеней, но и умение аккуратно работать с равносильными переходами. Главный инструмент при решении любого показательного неравенства — монотонность показательной функции.

Функция $y = a^{x}$ (где $a > 0,$ $a \neq = 1$ ) ведет себя по-разному в зависимости от основания:

При $a > 1$ функция строго возрастает. Большему значению функции соответствует больший аргумент.
При $0 < a < 1$ функция строго убывает. Большему значению функции соответствует меньший аргумент (знак неравенства меняется).

ВАЖНОЕ

Равносильные переходы для постоянного основания

Если $a > 1 :$

a^{f (x)} ⩾ a^{g (x)} ⟺ f (x) ⩾ g (x)

Если $0 < a < 1 :$

a^{f (x)} ⩾ a^{g (x)} ⟺ f (x) ⩽ g (x)

✓СОВЕТ

Формулируй обоснование словами

Под outcomes-рубрику ДВИ недостаточно молча заменить $a^{f} ⩾ a^{g}$ на $f ⩾ g .$ Проверяющий хочет видеть проговорённое основание перехода. Пиши явно: «так как функция $y = a^{x}$ при $a > 1$ строго возрастает, неравенство равносильно $f (x) ⩾ g (x)$ » или «так как при $0 < a < 1$ функция убывает, знак меняется на противоположный: $f (x) ⩽ g (x)$ ». Эта одна фраза — и есть то «обоснование равносильности», за отсутствие которого снимают «±».

y = a^x — потяните a через единицу и увидите, где функция возрастает, а где убывает

Неравенства с переменным основанием

Сложность резко возрастает, если основание степени зависит от переменной: $f (x)^{g (x)} ⩾ f (x)^{h (x)} .$ Такие неравенства называются функционально-показательными и регулярно встречаются в номерах 3 или 4 на ДВИ.

Здесь нельзя просто отбросить основание, так как мы не знаем, больше оно единицы или меньше. Необходимо рассматривать системы (перебирать случаи).

ВАЖНОЕ

Переход для переменного основания

Неравенство $f (x)^{g (x)} ⩾ f (x)^{h (x)}$ равносильно совокупности трех систем:

{f (x) > 1 g (x) ⩾ h (x) или {0 < f (x) < 1 g (x) ⩽ h (x) или {f (x) = 1 x \in ОДЗ функций g и h

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Зачем в ветке

f (x) = 1

условие «

x \in

ОДЗ показателей»

Когда основание равно единице, $1^{g (x)} = 1^{h (x)} = 1,$ и неравенство $1 ⩾ 1$ формально верно. Но это только если обе степени вообще определены в этой точке. Если показатель содержит дробь, корень или логарифм — он может быть не определён там, где $f (x) = 1,$ и тогда такую точку в ответ включать нельзя.

Пример западни: в неравенстве $(x - 2)^{g (x)} ⩾ (x - 2)^{1/ (x - 3)}$ основание равно $1$ при $x = 3,$ но показатель $\frac{1}{x - 3}$ при $x = 3$ не определён. Значит, $x = 3$ выпадает из ответа, хотя «механически» казался решением. Именно для таких случаев и пишут « $x \in$ ОДЗ функций $g$ и $h$ ».

✓СОВЕТ

Стратегия: Метод рационализации

На черновике для самопроверки можно использовать метод рационализации (метод замены множителя): множитель вида $(f (x)^{g (x)} - f (x)^{h (x)})$ совпадает по знаку с множителем $(f (x) - 1) (g (x) - h (x))$ при условии $f (x) > 0 .$ Однако на чистовике ДВИ МГУ безопаснее и строже расписывать совокупность систем, так как это исключает придирки проверяющих к обоснованию перехода.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать показательное неравенство

1. Выпиши ОДЗ. Если в показателях есть дроби, корни или логарифмы — зафиксируй ограничения в самом начале. Для функционально-показательных неравенств добавь условие на основание: $f (x) > 0 .$
2. Упрости показатели. Избавься от сумм и разностей в степенях по формулам $a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}$ и $a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}} .$
3. Приведи к одному или нескольким основаниям. Если основания разные, попытайся привести их к одному (например, $4^{x}$ и $8^{x}$ сводятся к $2^{2 x}$ и $2^{3 x}$ ).
4. Распознай структуру. Возможны четыре сценария: (а) одна функция $a^{x}$ — делай замену $t = a^{x};$ (б) однородное неравенство (степени вида $a^{2 x},$ $a^{x} b^{x},$ $b^{2 x}$ ) — дели на старшую степень; (в) группируется на множители — выноси общий множитель; (г) разные основания, не сводимые к одному, — работай монотонностью/оценкой.
5. Сделай замену переменной. Если неравенство сводится к алгебраическому (одна функция), введи замену $t = a^{x},$ реши неравенство относительно $t$ с учетом $t > 0,$ и только потом возвращайся к $x .$
6. Сними степени. Используй равносильные переходы из формул выше, внимательно следя за знаком основания, и проговаривай ссылку на монотонность в чистовике.

Примеры

ПРИМЕР 1

Замена и дробно-рациональное неравенство

Условие. Реши неравенство:

\frac{2 ^{2 x + 1} - 9 \cdot 2 ^{x} + 4}{2 ^{x} - 8} ⩾ 0

ПРИМЕР 2

Разложение на множители и коварная ОДЗ

Условие. Реши неравенство:

(4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4) 3^{x + 1} - 9 ⩽ 0

ПРИМЕР 3

Переменное основание (сравнение с единицей)

Условие. Реши неравенство:

(x^{2} - 5 x + 7)^{x^{2} - 4} ⩽ 1

ПРИМЕР 4

Однородное показательное неравенство

Условие. Реши неравенство:

4 \cdot 9^{x} - 13 \cdot 6^{x} + 9 \cdot 4^{x} ⩽ 0

ПРИМЕР 5

Группировка и вынесение общего множителя

Условие. Реши неравенство:

2^{x} + 2^{3 - x} < 9

ПРИМЕР 6

Общий случай переменного основания (два функциональных показателя)

Условие. Реши неравенство:

x^{x + 1} > x^{4}

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Как «

x \in

ОДЗ показателей» реально отсекает точку

Поменяем в условии правый показатель на $\frac{1}{x - 1} :$ неравенство $x^{x + 1} ⩾ x^{1/ (x - 1)} .$ Основание $f (x) = x$ равно $1$ при $x = 1,$ но показатель $\frac{1}{x - 1}$ при $x = 1$ не определён. Поэтому в ветке « $f (x) = 1$ » точка $x = 1$ не проходит проверку ОДЗ показателей и исключается из ответа — даже несмотря на то, что « $1^{\dots} ⩾ 1^{\dots}$ » выглядит верным. Это и есть смысл условия « $x \in$ ОДЗ функций $g$ и $h$ ».

ПРИМЕР 7

Метод монотонности: разные основания, не сводимые к одному

Условие. Реши неравенство:

3^{x} + 4^{x} > 5^{x}

ПРИМЕР 8

Показательное неравенство с параметром

Условие. При каких $x$ выполняется неравенство (в зависимости от параметра $a > 1$ ):

4^{x} - (a + 1) \cdot 2^{x} + a ⩽ 0

✓СОВЕТ

Полный разбор параметра — на следующий уровень

Мы рассмотрели только основную ветку $a > 1 .$ В полной задаче с параметром нужно разобрать все случаи: $a = 1$ (тогда $(t - 1)^{2} ⩽ 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow x = 0$ ); $0 < a < 1$ (тогда $a ⩽ t ⩽ 1,$ корни меняются местами, ответ $lo g_{2} a ⩽ x ⩽ 0$ ); $a ⩽ 0$ (тогда корень $t = a$ не лежит в области $t > 0,$ остаётся $0 < t ⩽ 1,$ то есть $x ⩽ 0$ ). Схема та же — замена $t = a^{x} > 0$ сводит к квадратному неравенству с параметром, дальше работает обычная техника расположения корней относительно границы $t > 0 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней через ОДЗ

Ошибка: В примере $A \cdot B ⩽ 0$ разделить всё на корень, записав $A ⩽ 0,$ и забыть проверить случай $B = 0 .$
Правильно: Всегда отдельно выписывай ОДЗ (например, $B ⩾ 0$ ) и отдельно проверяй граничные точки (корни уравнения $B = 0$ ). Именно там прячутся изолированные решения, на которых «срезаются» абитуриенты.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на показательную функцию

Ошибка: В неравенстве $3^{x} > 2^{x}$ разделить на $2^{x}$ и забыть, что знак мог бы поменяться.
Правильно: Показательная функция $a^{x}$ строго положительна при любом $x \in R .$ Поэтому делить на $a^{x}$ всегда можно, и знак неравенства при этом гарантированно не меняется. Неравенство $3^{x} > 2^{x}$ равносильно $(\frac{3}{2})^{x} > 1,$ откуда $x > 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря условия

t > 0

при обратной замене

Ошибка: После замены $t = a^{x}$ решить квадратное неравенство, получить, например, $t ⩽ - 1$ или $t ⩽ 3,$ и механически вернуться к $x,$ написав $a^{x} ⩽ - 1$ или включив отрицательные $t .$
Правильно: Замена $t = a^{x}$ всегда несёт ограничение $t > 0 .$ Отрицательную или нулевую часть ответа по $t$ обязательно отбрасывай с явным комментарием: « $t ⩽ 0$ не подходит, так как $t = a^{x} > 0$ ». Неравенство $a^{x} ⩽ - 1$ решений не имеет ( $\emptyset$ ), а не «любое $x$ ».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка свести к одному основанию там, где это невозможно

Ошибка: В неравенстве вида $3^{x} + 4^{x} > 5^{x}$ пытаться «привести к одному основанию» или ввести замену $t = a^{x}$ — оснований несколько и общей функции нет.
Правильно: Когда основания не сводятся к одному и слагаемые не группируются, переходи к методу монотонности: дели на старшую степень, получай сумму убывающих функций, угадывай границу и доказывай единственность (см. Пример 7). Это штатный приём ДВИ, а не «тупик».

Что запомнить

Если $a > 1,$ знак при снятии основания сохраняется. Если $0 < a < 1$ — меняется на противоположный. Проговаривай это словами в чистовике: «функция $a^{x}$ возрастает/убывает».
Любая замена $t = a^{x}$ сопровождается строгим условием $t > 0;$ часть ответа с $t ⩽ 0$ отбрасывается с комментарием.
При переменном основании $f (x)$ вводи строгую систему из трех случаев: $f (x) > 1,$ $0 < f (x) < 1$ и $f (x) = 1 .$ В ветке $f (x) = 1$ проверяй ОДЗ показателей — там прячется исключаемая точка.
Однородное неравенство (степени $a^{2 x},$ $a^{x} b^{x},$ $b^{2 x}$ ) дели на старшую степень — знак не меняется, так как $b^{2 x} > 0 .$
Слагаемые с разными показателями, но одинаковыми основаниями (например $5^{x + 1}$ и $5^{x - 1}$ ), всегда приводи к наименьшей степени ( $5^{x - 1}$ ) и выноси ее за скобку.
Если оснований несколько и они не сводятся к одному — работай монотонностью суммы.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ — письменный экзамен, оценка по outcomes-рубрике «±»: важен не только ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому все равносильные переходы нужно мотивировать самому. Ниже — эталон того, как оформить решение показательного неравенства, чтобы не потерять «±», и список типичных снятий.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения

1. Выпиши ОДЗ до преобразований. Дробь, корень или логарифм в показателе — фиксируй ограничения сразу. Для переменного основания добавь $f (x) > 0 .$ Комиссия штрафует за «найденный, но не учтённый» ОДЗ.
2. Назови приём. Одной фразой обозначь стратегию: «введём замену $t = 2^{x}$ », «неравенство однородное, делим на $9^{x}$ », «основания не сводятся — применим монотонность». Это показывает осознанность.
3. Обоснуй каждое деление. Делишь на $9^{x}$ (или на $a^{x}$ ) — напиши « $> 0$ при любых $x,$ знак не меняется». Делишь на выражение, которое может быть нулём, — разбери этот случай отдельно.
4. При замене фиксируй $t > 0 .$ Это часть решения, а не черновик. Отброшенную ветку $t ⩽ 0$ обязательно прокомментируй.
5. Снимай основание со ссылкой на монотонность словами. «Так как $a^{x}$ при $a > 1$ возрастает, переходим к $f (x) ⩾ g (x)$ » или «так как $0 < a < 1,$ функция убывает — знак меняется». Молчаливая замена неравенства = потеря балла.
6. Для переменного основания распиши все три ветки. $f > 1,$ $0 < f < 1,$ $f = 1$ (с проверкой ОДЗ показателей). Пропуск ветки $f = 1$ — типичное снятие.
7. Аккуратно пересекай и объединяй. Пересечение с ОДЗ и условием случая, объединение ветвей — в явном виде, с проверкой граничных точек (включена / выколота).
8. Запиши ответ множеством. Объединение промежутков и изолированных точек, концы — строго по строгости/нестрогости неравенства.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на показательных неравенствах

Потерян ОДЗ дроби/корня в показателе или условие $f (x) > 0$ для переменного основания.
Деление на $a^{x}$ / старшую степень без обоснования её положительности (даже при верном ответе).
Снято основание без ссылки на монотонность — молчаливый переход $a^{f} ⩾ a^{g} \to f ⩾ g$ без слов «возрастает/убывает».
Перепутан знак при $0 < a < 1$ (не поменяли неравенство при снятии убывающего основания).
Не отброшено $t ⩽ 0$ при замене $t = a^{x},$ или не прокомментировано почему.
Потеряна ветка $f (x) = 1$ или не проверен ОДЗ показателей в этой ветке.
Не доказана единственность границы в методе монотонности (корень угадан, но «других нет» не обосновано).

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационные приоритеты

Обоснование важнее ответа. На мехмате и ВМК голый правильный ответ без перебора случаев для переменного основания или без проверки знака на методе интервалов оценивается в 0 баллов. Расписывай системы и проговаривай монотонность.
Однородные неравенства. Если видишь степени трех видов, например $4^{x},$ $6^{x}$ и $9^{x}$ (однородное неравенство: $2^{2 x},$ $2^{x} \cdot 3^{x},$ $3^{2 x}$ ), алгоритм один — дели всё на старшую функцию (например, на $9^{x}$ ). Поскольку $9^{x} > 0,$ знак неравенства не изменится, и ты получишь квадратное неравенство относительно новой переменной $t = (\frac{2}{3})^{x}$ (полный разбор — Пример 4).
Группировка. Слагаемые с одинаковым основанием и сдвинутыми показателями ( $2^{x}$ и $2^{3 - x}$ ) сводятся к одной функции через свойства степеней и замену $t = a^{x}$ (Пример 5).
Метод монотонности. Когда основания не сводятся к одному (например $3^{x} + 4^{x}$ против $5^{x}$ ), дели на старшую степень и пользуйся строгой монотонностью суммы (Пример 7).
Параметр. Для ВМК/эконома показательное с параметром почти всегда сводится заменой $t = a^{x} > 0$ к квадратному неравенству с параметром; дальше — расположение корней относительно границы $t > 0$ (Пример 8).
Комбинированные задачи. Если показательная функция стоит под корнем или внутри логарифма (тип 3-4), начинай только с ОДЗ внешней функции.

Проверь себя0 из 4

1.При каком условии в неравенстве

a^{f (x)} ⩾ a^{g (x)}

знак меняется на противоположный при снятии основания?

2.Какое ограничение обязательно сопровождает замену

t = 2^{x} ?

3.Сколько систем входит в совокупность при решении

f (x)^{g (x)} ⩾ f (x)^{h (x)}

с переменным основанием?

4.Как решается однородное неравенство

4 \cdot 9^{x} - 13 \cdot 6^{x} + 9 \cdot 4^{x} ⩽ 0 ?