Часть 2, задание 3: Неравенство — ДВИ

О задании 3 на ДВИ

Третье задание ДВИ МГУ — это задача на решение неравенства. Как правило, оно оценивается как задача базового или среднего уровня сложности, но это не значит, что оно простое. В отличие от ЕГЭ, здесь редко встречаются стандартные логарифмические неравенства, которые решаются в один шаг.

На ДВИ проверяется твоё умение аккуратно работать с областью допустимых значений (ОДЗ), применять равносильные переходы, грамотно раскрывать модули и не терять изолированные решения.

Какие темы встречаются

В третьем номере банк ДВИ опирается на следующие типы неравенств:

Рациональные: дроби с многочленами высоких степеней.
Иррациональные: корни, в том числе вложенные друг в друга или умноженные на многочлен.
Показательные и логарифмические: чаще всего с переменным основанием, что требует аккуратного разбора случаев или метода рационализации.
Неравенства с модулем: модули могут находиться как в алгебраических выражениях, так и внутри логарифмов.

Иногда типы комбинируются: например, логарифм, аргумент которого содержит корень, или дробь с модулями и показательными функциями.

Главные формулы и равносильные переходы

Чтобы не запутаться в ОДЗ и не приобрести посторонних решений, на ДВИ принято использовать равносильные переходы (системы и совокупности). Это избавляет от необходимости отдельно выписывать сложное ОДЗ, если оно автоматически учитывается в системе. Все эти переходы собраны в справочнике (раздел «Неравенства и модули») — здесь мы приводим их в рабочем виде для № 3.

ВАЖНОЕ

Дробно-рациональные неравенства

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя на знаменатель, а знаменатель нельзя обнулять:

\frac{P ( x )}{Q ( x )} ⩾ 0 ⟺ {P (x) \cdot Q (x) ⩾ 0 Q (x) \neq = 0 \frac{P ( x )}{Q ( x )} > 0 ⟺ P (x) \cdot Q (x) > 0.

Дальше работает метод интервалов: наносим на ось нули числителя и нули знаменателя, расставляем знаки с учётом кратности (множитель в чётной степени знак не меняет). Нули знаменателя всегда выколоты, нули числителя включаются только при нестрогом неравенстве.

ВАЖНОЕ

Неравенства с модулем

Две базовые равносильности (правая часть $g$ может зависеть от $x$ ):

∣ f (x) ∣ < g (x) ⟺ - g (x) < f (x) < g (x), ∣ f (x) ∣ > g (x) ⟺ [f (x) > g (x) или f (x) < - g (x) .

Модуль с обеих сторон сворачивается в разность квадратов:

∣ f (x) ∣ ≶ ∣ g (x) ∣ ⟺ (f (x) - g (x)) (f (x) + g (x)) ≶ 0.

Если в одно неравенство входит несколько разных модулей — применяй метод интервалов по точкам смены знака подмодульных выражений: найди нули каждого выражения под модулем, разбей ось на промежутки, на каждом раскрой модули по знаку, реши и пересеки с этим промежутком, затем объедини ответы.

ВАЖНОЕ

Иррациональные неравенства

Для неравенства вида $f (x) < g (x) :$

f (x) < g (x) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ f (x) < g^{2} (x) f (x) ⩾ 0 g (x) > 0

Для неравенства вида $f (x) > g (x) :$

f (x) > g (x) ⟺ {g (x) < 0 f (x) ⩾ 0 {g (x) ⩾ 0 f (x) > g^{2} (x)

Нестрогие варианты. Знаки переносятся аккуратно: в $f ⩽ g$ условие на правую часть тоже становится нестрогим

f (x) ⩽ g (x) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ f (x) ⩽ g^{2} (x) f (x) ⩾ 0 g (x) ⩾ 0

(теперь $g$ может равняться нулю — тогда обе части равны $0$ ).

Корень против корня (обе части под корнем) — самый удобный случай, правую часть не надо отдельно делать положительной, она и так $⩾ 0 :$

f (x) < g (x) ⟺ {f (x) ⩾ 0 f (x) < g (x) f (x) ⩽ g (x) ⟺ {f (x) ⩾ 0 f (x) ⩽ g (x) .

Условие $f ⩾ 0$ автоматически гарантирует $g ⩾ 0,$ поэтому его отдельно писать не нужно.

ВАЖНОЕ

Показательные неравенства с переменным основанием

Для постоянного основания знак неравенства между показателями зависит от того, больше основание единицы или меньше:

a^{f} ⩾ a^{g} ⟺ f ⩾ g (a > 1); a^{f} ⩾ a^{g} ⟺ f ⩽ g (0 < a < 1) .

Если основание переменное ( $a = h (x)$ ), оба случая собираются в одну равносильность через множитель $(h - 1)$ — это показательная рационализация, симметричная логарифмической:

h (x)^{f (x)} ⩾ h (x)^{g (x)} ⟺ {(h (x) - 1) (f (x) - g (x)) ⩾ 0 h (x) > 0

(условие $h > 0$ — это ОДЗ показательной функции с переменным основанием; знак неравенства задаёт знак произведения $(h - 1) (f - g)$ ).

ВАЖНОЕ

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Решение неравенства $lo g_{f (x)} g (x) ⩾ lo g_{f (x)} h (x)$ сводится к двум случаям (основание больше $1$ и основание от $0$ до $1$ ), что эквивалентно переходу (метод рационализации):

lo g_{f (x)} g (x) ⩾ lo g_{f (x)} h (x) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ (f (x) - 1) (g (x) - h (x)) ⩾ 0 g (x) > 0 h (x) > 0 f (x) > 0, f (x) \neq = 1

✓СОВЕТ

Почему рационализация законна — как защитить её в письменной работе

На ДВИ листа формул нет, поэтому проверяющий вправе ждать обоснования перехода, а не «магического» множителя $(f - 1) .$ Достаточно одной строки, показывающей, что ты понимаешь два случая основания.

Для логарифма $lo g_{f} g ⩾ lo g_{f} h$ на ОДЗ ( $f > 0, f \neq = 1, g > 0, h > 0$ ):

если $f > 1$ — логарифм возрастает, неравенство равносильно $g ⩾ h,$ то есть $f - 1 > 0$ и $g - h ⩾ 0$ — произведение $(f - 1) (g - h) ⩾ 0;$
если $0 < f < 1$ — логарифм убывает, неравенство равносильно $g ⩽ h,$ то есть $f - 1 < 0$ и $g - h ⩽ 0$ — снова $(f - 1) (g - h) ⩾ 0 .$

Оба случая дают одно и то же условие $(f - 1) (g - h) ⩾ 0$ — это и есть рационализация. Точно так же для показательной: при $h > 1$ функция растёт ( $f ⩾ g$ ), при $0 < h < 1$ убывает ( $f ⩽ g$ ), и оба случая сворачиваются в $(h - 1) (f - g) ⩾ 0 .$ Достаточно один раз написать эту фразу «разбираем два случая основания», чтобы переход был законным в глазах проверяющего.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Стратегия подхода к неравенству

1. Анализ и ограничения: Посмотри на неравенство. Есть ли корни чётной степени, логарифмы, дроби? Сразу выпиши систему ограничений (ОДЗ) или убедись, что твои равносильные переходы её включают.
2. Упрощение: Приведи логарифмы к одному основанию, избавься от отрицательных степеней, разложи многочлены на множители. Сделай замену переменной, если видишь повторяющиеся блоки.
3. Освобождение от сложных функций: Примени метод рационализации для логарифмов или возведи в квадрат иррациональности строго по формулам равносильных переходов.
4. Метод интервалов: Нанеси нули числителя и знаменателя на числовую ось. Расставь знаки, учитывая кратность корней (четные степени не меняют знак).
5. Пересечение с ОДЗ: Нарисуй оси друг под другом, чтобы аккуратно пересечь полученное решение с областью допустимых значений.

Примеры решения задач

Разберём по одному характерному примеру на каждый заявленный тип неравенства, начиная с самого частого на ДВИ — дробно-рационального.

ПРИМЕР 1

Дробно-рациональное неравенство

Реши неравенство: $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9} ⩾ 0 .$

Перейдём к показательно-логарифмическому неравенству, которое требует метода рационализации и очень точной работы с корнями многочлена.

ПРИМЕР 2

Логарифм с переменным основанием

Реши неравенство: $lo g_{x} (2 x^{2} - 3 x + 1) ⩽ 2 .$

Разберем классическое иррациональное неравенство. Здесь важно не возводить слепо в квадрат, а использовать две системы.

ПРИМЕР 3

Иррациональное неравенство

Реши неравенство: $2 x^{2} - 3 x - 5 > x - 1 .$

Когда под обоими знаками неравенства стоят корни, не нужно гадать о знаке правой части — достаточно сравнить подкоренные выражения, не забыв ОДЗ.

ПРИМЕР 4

Корень против корня

Реши неравенство: $x^{2} - x - 2 ⩽ x + 1 .$

Теперь покажем показательное неравенство с переменным основанием — рационализация работает по тому же множителю $(a - 1),$ что и для логарифмов.

ПРИМЕР 5

Показательное неравенство с переменным основанием

Реши неравенство: $x^{x + 1} > x^{3} .$

Если в неравенство один и тот же блок входит несколько раз — это сигнал к замене переменной. Покажем технику на логарифмическом неравенстве, квадратном относительно нового выражения.

ПРИМЕР 6

Замена переменной

Реши неравенство: $lo g_{2}^{2} x - 3 lo g_{2} x + 2 ⩽ 0 .$

Меняйте a: при a > 1 логарифм сохраняет знак неравенства, а при 0 < a < 1 меняет его

Наконец, модуль. Когда модулей несколько и под ними разные выражения, надёжнее всего метод интервалов по точкам смены знака.

ПРИМЕР 7

Неравенство с модулем (метод интервалов)

Реши неравенство: $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ ⩽ 5 .$

y = |x − a| + b — базовая форма модуля, лежащая в основе метода интервалов выше

✓СОВЕТ

Короткий способ для одного модуля

Если модуль ровно один, метод интервалов разворачивать не нужно — хватает базовой равносильности. Например, $∣ x^{2} - 4∣ < 3 x$ решается так: $∣ f ∣ < g ⟺ - g < f < g,$ то есть

- 3 x < x^{2} - 4 < 3 x .

Левое: $x^{2} + 3 x - 4 > 0 ⟺ (x + 4) (x - 1) > 0 ⟺ x < - 4$ или $x > 1 .$ Правое: $x^{2} - 3 x - 4 < 0 ⟺ (x - 4) (x + 1) < 0 ⟺ - 1 < x < 4 .$ Пересечение (с учётом, что правая часть $3 x$ обязана быть положительной, иначе модуль не может быть строго меньше): $x \in (1; 4) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в квадрат без проверки знака

Ошибка: Решать неравенство $x + 2 < x$ просто возведением в квадрат: $x + 2 < x^{2} ⟹ x^{2} - x - 2 > 0 .$
Правильно: Правая часть неравенства ( $x$ ) обязана быть строго положительной, так как она больше арифметического квадратного корня, который неотрицателен. Возводить в квадрат можно только систему, добавив условие $x > 0$ и ОДЗ корня $x + 2 ⩾ 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря изолированных точек

Ошибка: При решении неравенства $(x - 3) x + 1 ⩽ 0$ разделить обе части на корень и получить только $x - 3 ⩽ 0 ⟹ x ⩽ 3 .$ С учетом ОДЗ корень $x = - 1$ теряется.
Правильно: Корень может быть равен нулю. Неравенство равносильно совокупности: либо $x + 1 = 0 ⟹ x = - 1,$ либо ${x - 3 ⩽ 0 x + 1 > 0 ⟹ x \in (- 1; 3] .$ Итоговый ответ: $[- 1; 3] .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разворот знака при умножении на отрицательное

Ошибка: В неравенстве $\frac{2}{x} < 1$ домножить обе части на $x$ «как есть» и получить $2 < x .$ Это верно только при $x > 0;$ при $x < 0$ знак неравенства разворачивается, и решение там совсем другое.
Правильно: Либо переноси всё в одну часть и работай методом интервалов: $\frac{2}{x} - 1 < 0 ⟺ \frac{2 - x}{x} < 0 ⟺ (2 - x) x < 0 ⟺ x < 0$ или $x > 2 .$ Либо разбирай знак множителя на случаи. Никогда не умножай и не дели неравенство на выражение неизвестного знака и не сокращай на такой множитель — при умножении/делении на отрицательное знак $<$ переходит в $> .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потенцирование логарифма без учёта основания

Ошибка: Из $lo g_{0, 5} (x) < lo g_{0, 5} (3)$ заключить $x < 3 .$ Основание $0, 5 \in (0; 1)$ — функция убывает, знак неравенства между аргументами разворачивается: правильно $x > 3$ (плюс ОДЗ $x > 0$ ).
Правильно: Прежде чем «снимать логарифмы», всегда смотри на основание: при $a > 1$ знак сохраняется, при $0 < a < 1$ — меняется. Если основание переменное — используй рационализацию (множитель $(a - 1)$ ), которая учитывает оба случая автоматически.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Оформление и подход на ДВИ

Слово «ОДЗ»: Если ты пишешь буквы «ОДЗ», проверяющий ожидает, что ты найдешь её полностью и до конца, решив все сопутствующие неравенства. На ДВИ это часто громоздко. Безопаснее писать «Область допустимых значений задается системой...» или сразу использовать равносильные переходы (цепочки систем), где ограничения тянутся до конца.
Обосновывай переходы: Листа формул нет, поэтому рационализацию (и логарифмическую, и показательную) сопровождай фразой «разбираем два случая основания: $a > 1$ и $0 < a < 1$ » — иначе проверяющий может не принять множитель $(a - 1)$ как «магию». Для иррациональных переходов аналогично показывай, почему появляется условие на знак правой части.
Рисуй числовые оси: Обязательно показывай штриховкой метод интервалов и пересечение множеств. Проверяющий должен видеть, как ты отсекаешь неверные промежутки.
Двойные корни: Следи за корнями четной кратности (например, если после рационализации возник множитель $(x - 2)^{2}$ ). При переходе через них знак на числовой прямой не меняется, но сама точка может входить в ответ, если неравенство нестрогое. Отмечай их на оси «петелькой» или флажком.
Оценка иррациональностей: Как в Примере 2, на ДВИ часто возникают корни из нечисловых квадратов (типа $5,$ $13$ ). Обязательно показывай письменно, как ты оцениваешь их положение относительно других чисел на оси (например, «Так как $4 < 5 < 9,$ то $2 < 5 < 3$ »). За неаргументированную расстановку точек снимут баллы.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ — письменный экзамен, оценка идёт по outcomes-рубрике «±»: важен не только верный ответ, но и полностью обоснованный ход решения. Ниже — эталон того, как должно выглядеть полное решение неравенства, и за что снимают «±».

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (на примере неравенства с переменным основанием)

1. Выписать ОДЗ / систему ограничений явно, до начала преобразований (аргументы логарифмов $> 0,$ основания $> 0$ и $\neq = 1,$ подкоренные $⩾ 0,$ знаменатели $\neq = 0$ ).
2. Назвать применяемый переход и обосновать его одной фразой («рационализация: разбираем два случая основания $a > 1$ и $0 < a < 1$ » / «возводим в квадрат на системе, так как обе части неотрицательны»).
3. Аккуратно провести алгебру до разложения на множители; все корни многочленов найти и при необходимости оценить ( $2 < 5 < 3,$ потому что $4 < 5 < 9$ ).
4. Метод интервалов с чертежом: числовая ось, отмеченные нули с правильной кратностью, расставленные знаки, заштрихованное решение.
5. Пересечь с ОДЗ на параллельных осях и аккуратно выписать концы (включены/выколоты).
6. Записать ответ в виде объединения промежутков с правильными скобками.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (типичные потери баллов)

Нет ОДЗ или она найдена не до конца — самая частая потеря. Если написал «ОДЗ», обязан довести её до явного множества.
Необоснованный переход: «снял логарифмы» без указания знака основания; рационализация без оговорки про два случая; возведение в квадрат без условия $g ⩾ 0 .$
Неаргументированная расстановка иррациональных точек на оси (без оценки $2 < 5 < 3$ ).
Потеря изолированной точки (где обе части равны нулю) или лишняя точка (выколотый нуль знаменателя/основания попал в ответ).
Перепутанные скобки в ответе: включён нуль знаменателя, выколот включаемый корень числителя при нестрогом неравенстве.
Чертежа пересечения нет — проверяющий не видит, как именно получено итоговое множество; даже верный ответ без видимого отсечения промежутков рискует получить «±» вместо «+».

Проверь себя0 из 4

1.Какой множитель заменяет разность логарифмов

lo g_{f (x)} g (x) - lo g_{f (x)} h (x)

при рационализации (на ОДЗ)?

2.Неравенство

f (x) < g (x)

равносильно системе. Какое условие на

g (x)

в неё входит?

3.Чему равно решение неравенства

(x - 3) x + 1 ⩽ 0 ?

4.Основание логарифма равно

0, 5 .

Что происходит со знаком неравенства при переходе от логарифмов к аргументам?