Подобие и площади — ДВИ

Подобие и площади: скрытые связи в планиметрии

Добрая половина задач по планиметрии на ДВИ МГУ сводится к фразе «найдите площадь» или «найдите отношение площадей». Прямолинейный счёт через формулы $S = \frac{1}{2} ah$ или формулу Герона здесь работает редко. На ДВИ проверяют умение сравнивать площади фигур, не вычисляя их истинных размеров.

Главный инструмент для этого — подобие треугольников и переход от одной фигуры к другой через общие элементы (основания, высоты, углы).

Подобие треугольников: три признака

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент этой пропорции — коэффициент подобия $k .$ На экзамене подобие почти никогда не дано в условии — его нужно доказать, сославшись на один из трёх признаков. Доказательство подобия — это полноценный шаг решения, и без него рубрика ДВИ не засчитает переход.

ВАЖНОЕ

Три признака подобия треугольников

Треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобны, если выполнено хотя бы одно из условий:

1. По двум углам: $∠ A = ∠ A_{1}$ и $∠ B = ∠ B_{1}$ (тогда и третьи углы равны).
2. По двум сторонам и углу между ними: $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ и $∠ A = ∠ A_{1} .$
3. По трём сторонам: $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{C A}{C _{1} A _{1}} .$

На практике в 90% задач работает первый признак (по двум углам): равные углы возникают сами собой из параллельности прямых, общего угла или вписанных углов. Поэтому, увидев в конфигурации параллельные прямые или общий угол, первым делом ищи подобие именно по двум углам.

Базовые ситуации подобия и их обоснование

Чтобы использовать подобие, его нужно сначала увидеть. Чаще всего на ДВИ встречаются две классические конструкции, и обе обосновываются через первый признак.

ВАЖНОЕ

Ситуация 1: параллельная отсекающая прямая

Если прямая $A_{1} C_{1}$ параллельна стороне $A C$ треугольника $A B C$ ( $A_{1} \in A B,$ $C_{1} \in B C$ ), то $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A B C .$

Обоснование. Угол $B$ — общий. Углы $B A_{1} C_{1}$ и $B A C$ равны как соответственные при параллельных $A_{1} C_{1} ∥ A C$ и секущей $A B .$ По первому признаку (два угла) треугольники подобны. Коэффициент подобия $k = \frac{B A _{1}}{B A} = \frac{B C _{1}}{B C} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} .$

ВАЖНОЕ

Ситуация 2: «песочные часы»

Если прямая $A_{1} C_{1} ∥ A C$ пересекает продолжения сторон $A B$ и $C B$ за вершину $B,$ то $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A B C .$

Обоснование. Углы при вершине $B$ равны как вертикальные. Углы $B A_{1} C_{1}$ и $B A C$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $A A_{1} .$ По первому признаку треугольники подобны.

Важнейший факт, генерирующий пропорции в треугольнике (помимо подобия), который на ДВИ нужно знать наизусть:

Треугольник ABC с вершиной A вверху, основание BC горизонтал

ВАЖНОЕ

Свойство биссектрисы

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

Подобие в прямоугольном треугольнике

Отдельно стоит запомнить классическую ДВИ-конфигурацию: высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу. Она разбивает прямоугольный треугольник на два, каждый из которых подобен исходному (и подобен между собой) — по двум углам (общий острый угол + прямой).

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

ВАЖНОЕ

Соотношения в прямоугольном треугольнике

Пусть в прямоугольном треугольнике высота $C H = h$ опущена на гипотенузу $A B,$ а проекции катетов равны $A H = m$ и $H B = n .$ Тогда:

h^{2} = m \cdot n, A C^{2} = m \cdot A B, B C^{2} = n \cdot A B .

То есть высота есть среднее геометрическое проекций, а катет — среднее геометрическое своей проекции и всей гипотенузы.

Четыре факта о сравнении площадей

Если площади нельзя вычислить, их нужно выразить друг через друга. Весь метод строится на четырёх базовых переходах. Прежде чем перейти к ним, выпишем формулу, на которой держится Факт 2 — площадь через синус угла (на ДВИ листа формул нет, поэтому её обоснование тоже стоит держать в голове).

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника через синус угла

S = \frac{1}{2} ab sin C,

где $a,$ $b$ — две стороны, $C$ — угол между ними.

Откуда берётся. Площадь через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_{a} .$ Если высота $h_{a}$ опущена на сторону $a$ из вершины напротив, а $b$ — соседняя сторона под углом $C$ к $a,$ то из прямоугольного треугольника $h_{a} = b sin C .$ Подставляя, получаем $S = \frac{1}{2} ab sin C .$ См. также справочник, раздел «Треугольник: площади».

ВАЖНОЕ

Факт 1: Общая высота

Если треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C$ имеют общую вершину $C,$ а их основания $A B$ и $A_{1} B_{1}$ лежат на одной прямой, то отношение их площадей равно отношению оснований:

\frac{S _{A B C}}{S _{A_{1} B_{1} C}} = \frac{A B}{A _{1} B _{1}}

ВАЖНОЕ

Факт 2: Общий угол

Если треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C$ имеют общий угол $C$ (или эти углы равны/составляют в сумме $18 0^{\circ}$ ), то отношение их площадей равно отношению произведений заключающих сторон:

\frac{S _{A B C}}{S _{A_{1} B_{1} C}} = \frac{A C \cdot B C}{A _{1} C \cdot B _{1} C}

Откуда берётся. По формуле площади через синус $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B C sin C$ и $S_{A_{1} B_{1} C} = \frac{1}{2} A_{1} C \cdot B_{1} C sin C .$ Синусы равных или дополняющих до $18 0^{\circ}$ углов совпадают ( $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ ), поэтому при делении они сокращаются.

ВАЖНОЕ

Факт 3: Подобные фигуры

Отношение площадей двух подобных треугольников (или любых подобных многоугольников) равно квадрату коэффициента подобия:

\frac{S _{A B C}}{S _{A_{1} B_{1} C_{1}}} = k^{2} = (\frac{A B}{A _{1} B _{1}})^{2}

При этом отношение периметров, как и отношение радиусов вписанной/описанной окружностей подобных фигур, равно самому $k$ (в первой степени) — а вот площади относятся как $k^{2} .$

Факт 4 (Свойство трапеции): Диагонали разбивают любую трапецию на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики (их площади равны). Треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, причём коэффициент их подобия равен отношению оснований.

Мощные инструменты: Теоремы Менелая и Чевы

Для применения «Факта 1» постоянно не хватает отношений отрезков на сторонах. На ДВИ эти отношения почти всегда добываются с помощью теоремы Менелая.

ВАЖНОЕ

Теорема Менелая

Если прямая пересекает стороны треугольника $A B C$ (или их продолжения) в точках $A_{1},$ $B_{1},$ $C_{1},$ то выполняется равенство:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

✓СОВЕТ

Как не запутаться в Менелае

Используй правило «Вершина — Точка — Вершина». Стартуй из любой вершины (например, $A$ ). Иди к точке пересечения на стороне ( $C_{1}$ ), затем к следующей вершине ( $B$ ). От вершины $B$ — к точке $A_{1},$ затем к вершине $C .$ От $C$ — к точке на продолжении $B_{1},$ и возвращайся в $A .$

ВАЖНОЕ

Теорема Чевы

Если отрезки $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1},$ соединяющие вершины с точками на противоположных сторонах, пересекаются в одной точке, то:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Менелай и Чева выглядят одинаково — но это РАЗНЫЕ теоремы

Произведение трёх дробей $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A}$ равно $1$ и у Менелая, и у Чевы — формулы буквально совпадают по виду. Но конфигурации противоположны, и путать их нельзя:

Менелай — это секущая прямая (одна прямая пересекает стороны и их продолжения). Условие применимости: чтобы существовала прямая, проходящая через все три точки, ровно одна или все три точки должны лежать на продолжениях сторон. Если все три точки взяты на самих сторонах (внутри), такой секущей нет — теорема неприменима.
Чева — это три чевианы из вершин, пересекающиеся в одной точке (конкурентность). Для внутренней точки пересечения все три точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ лежат на самих сторонах.

Запоминалка: Менелай — прямая «протыкает» треугольник насквозь (часть точек снаружи); Чева — три отрезка сходятся из углов внутрь.

Альтернатива Менелаю: метод масс (mass points)

В Менелае легко ошибиться со схемой обхода или с тем, какой отрезок ставить в числитель. Для задач, где чевианы пересекаются в одной точке (как в Примерах 2 и 3), есть более «защищённый от ошибок» способ — метод масс. Он позволяет находить отношения, в которых точка пересечения делит чевианы, простой арифметикой.

✓СОВЕТ

Метод масс за три шага

Представим, что в вершинах треугольника помещены грузики (массы), и точки на сторонах — центры масс пар вершин.

1. Балансируем каждую сторону. Если точка $D$ делит сторону так, что $B D : D C = p : q,$ то массы вершин обратно пропорциональны: масса в $B$ относится к массе в $C$ как $q : p$ (бóльшая масса — у ближней вершины, ведь рычаг короче).
2. Согласуем массы вершин по всем сторонам сразу (общий масштаб подбираем так, чтобы массы совпали).
3. Точка пересечения чевиан делит каждую чевиану в отношении, обратном массам её концов. Масса точки на стороне = сумма масс концов этой стороны.

Этим способом результат Примера 2 ( $A O : O N$ ) получается в два действия — см. альтернативное решение там.

Алгоритм решения задач на площади

АЛГОРИТМ

План сведения задачи к цепочке площадей

1. Обозначь базу. Если площадь исходной фигуры не дана, обозначь её за $S .$ Ответ всё равно сократится, либо $S$ найдётся в конце.
2. Найди маршрут. Построй цепочку треугольников от того, чья площадь известна (или равна $S$ ), к искомому. Треугольники в цепочке должны попарно подпадать под Факт 1 или Факт 2.
3. Добудь отношения. Если для перехода по Факту 1 не хватает отношения отрезков, найди его через подобие, свойство биссектрисы, теорему Менелая или метод масс.
4. Перемножь доли. Вырази искомую площадь, последовательно умножая $S$ на найденные дроби.

Примеры

ПРИМЕР 1

Свойство биссектрисы и площади

Условие. В треугольнике $A B C$ со сторонами $A B = 4,$ $A C = 5,$ $B C = 6$ проведена медиана $B M$ и биссектриса $A L,$ которые пересекаются в точке $K .$ Найдите отношение площади треугольника $A K M$ к площади треугольника $A B C .$

ПРИМЕР 2

Теорема Менелая и площади

Условие. На сторонах $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что $A M : M B = 1 : 2,$ а $B N : N C = 3 : 1 .$ Отрезки $A N$ и $C M$ пересекаются в точке $O .$ Найдите площадь треугольника $A O C,$ если площадь треугольника $A B C$ равна 60.

То же отношение $AO:ON$ методом масс (страховочный способ)

Балансируем стороны. На стороне $A B$ точка $M$ даёт $A M : M B = 1 : 2,$ значит массы обратны: $m_{A} : m_{B} = 2 : 1 .$ На стороне $B C$ точка $N$ даёт $B N : N C = 3 : 1,$ значит $m_{B} : m_{C} = 1 : 3 .$

Согласуем: возьмём $m_{B} = 1,$ тогда $m_{A} = 2,$ $m_{C} = 3 .$ Точка $N$ на стороне $B C$ несёт массу $m_{B} + m_{C} = 1 + 3 = 4 .$ На чевиане $A N$ точка пересечения делит её обратно пропорционально массам концов:

\frac{A O}{O N} = \frac{m _{N}}{m _{A}} = \frac{4}{2} = 2,

то есть $A O : O N = 2 : 1,$ или $N O : O A = 1 : 2$ — тот же результат, что и по Менелаю, но без обхода контура.

ПРИМЕР 3

Комбинация Чевы, Менелая и площадей (уровень ДВИ)

Условие. На сторонах $B C,$ $A C$ и $A B$ треугольника $A B C$ взяты точки $A_{1},$ $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Отрезки $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке $P .$ Известно, что $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2,$ а $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 3 .$ Найдите отношение площади треугольника $A P B_{1}$ к площади треугольника $A B C .$

ПРИМЕР 4

Подобие и квадрат коэффициента (

k^{2}

)

Условие. В треугольнике $A B C$ на стороне $A B$ взята точка $A_{1},$ а на стороне $B C$ — точка $C_{1}$ так, что $A_{1} C_{1} ∥ A C$ и $B A_{1} : A_{1} A = 2 : 3 .$ Площадь треугольника $A B C$ равна $75 .$ Найдите площадь трапеции $A A_{1} C_{1} C$ (части треугольника между прямой $A_{1} C_{1}$ и стороной $A C$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не первая, а вторая степень!

Типичная ловушка: написать $S_{A_{1} B C_{1}} = \frac{2}{5} \cdot 75 = 30 .$ Это неверно — коэффициент входит в квадрате: правильно $(\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25},$ и площадь равна $12,$ а не $30 .$

ПРИМЕР 5

Трапеция: равновеликость и подобие у диагоналей (Факт 4)

Условие. В трапеции $A B C D$ с основаниями $B C = 3$ и $A D = 7$ диагонали пересекаются в точке $O .$ Площадь треугольника $B O C$ (прилежащего к меньшему основанию) равна $9 .$ Найдите площадь всей трапеции.

ПРИМЕР 6

Прямоугольный треугольник: высота к гипотенузе

Условие. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом при вершине $C$ высота $C H,$ опущенная на гипотенузу $A B,$ делит её на отрезки $A H = 4$ и $H B = 9 .$ Найдите площадь треугольника $A B C .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Квадрат коэффициента подобия

Ошибка: Утверждать, что если сторона одного подобного треугольника в 3 раза больше стороны другого, то его площадь больше в 3 раза ( $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k$ ).
Правильно: Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2} .$ Если сторона больше в 3 раза, площадь больше в 9 раз. (А вот периметры и радиусы окружностей относятся как сам $k .$ )

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отношения в теореме Менелая

Ошибка: При записи теоремы Менелая для точки на продолжении стороны брать отношение отрезка вне треугольника к стороне (например, $\frac{C B _{1}}{C A}$ ).
Правильно: Всегда брать отношение расстояний от точки пересечения до каждой из вершин отрезка. Правильная дробь: $\frac{C B _{1}}{B _{1} A} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Менелай против Чевы

Ошибка: Применять теорему Менелая к трём точкам, лежащим на самих сторонах (внутри треугольника) — «прямой» через них не существует, и равенство $= 1$ к ним не относится; либо наоборот, применять Чеву к секущей, не проходящей через вершины.
Правильно: Сначала определи конфигурацию. Если есть прямая-секущая (часть точек — на продолжениях сторон) — это Менелай. Если есть три чевианы из вершин в одной точке — это Чева. Внешне формулы одинаковы, но применимы к разным картинкам.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытое обоснование подобия

Ошибка: Написать «треугольники подобны» без указания признака — рубрика ДВИ сочтёт это недоказанным.
Правильно: Всегда называй признак и его посылку: «по двум углам ( $∠ B$ — общий, $∠ B A_{1} C_{1} = ∠ B A C$ как соответственные при $A_{1} C_{1} ∥ A C$ )».

Что запомнить

Если просят найти площадь фигуры, в 90% случаев её нужно не считать в лоб, а отрезать или достроить до треугольника, чья площадь выражается через заданную.
Подобие на ДВИ почти всегда доказывается по двум углам; равные углы дают параллельность, общий угол или вписанные углы.
Площади подобных фигур — как $k^{2},$ периметры и радиусы — как $k .$
Теорема Менелая — ключ ко всем отношениям отрезков внутри треугольника, если проведены пересекающиеся чевианы или секущие; метод масс — её страховочная альтернатива для конкурентных чевиан.
Менелай и Чева пишутся одинаково, но это разные конфигурации: секущая прямая против трёх чевиан.
Всегда переводи отношения вида $3 : 2$ в дроби от целого: $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{5} .$ Это защитит от ошибок при вычислении площадей.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают не только ответ, но и обоснованность каждого перехода. По рубрике «±» баллы снимают именно за пропущенные обоснования, даже если итоговое число верное. Ниже — эталон полного оформления и список того, за что чаще всего снижают.

✓СОВЕТ

Эталон записи решения (на примере перехода по площадям)

1. Введи обозначение базовой площади: «Пусть $S_{A B C} = S$ ».
2. Назови маршрут: «Выразим $S_{A K M}$ по цепочке $A B C \to A B M \to A K M$ ».
3. Каждый переход — со ссылкой на факт и с проговоренной причиной:
«Треугольники $A B M$ и $A B C$ имеют общую высоту из вершины $B,$ а их основания $A M$ и $A C$ лежат на одной прямой, причём $A M = \frac{1}{2} A C .$ Поэтому $S_{A B M} = \frac{1}{2} S$ ».
4. Подобие — только с указанием признака: « $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A B C$ по двум углам ( $∠ B$ общий, $∠ B A_{1} C_{1} = ∠ B A C$ как соответственные при $A_{1} C_{1} ∥ A C$ )».
5. Применение Менелая/Чевы — со ссылкой и оговоркой конфигурации: «По теореме Менелая для $△ A B N$ и секущей $M - O - C$ (точка $C$ лежит на продолжении $B N$ за $N$ ): …».
6. Запиши явный ответ отдельной строкой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (типовые потери баллов)

«Треугольники подобны» без признака — недоказанный шаг. Всегда называй признак и посылку.
Использование $S = \frac{1}{2} ab sin C$ или соотношений в прямоугольном треугольнике без напоминания формулы — на ДВИ листа формул нет; базовую формулу стоит выписать.
Менелай без оговорки, какая точка на продолжении — проверяющий должен видеть, что конфигурация секущей существует.
«Очевидно, что отношение равно…» без вычисления — отношения отрезков надо добывать явно (подобие / биссектриса / Менелай / массы).
Потеря множителя $k$ vs $k^{2}$ при переходе к площадям подобных фигур.
Отсутствие явного ответа или ответ, спрятанный внутри выкладки.

✓СОВЕТ

Что доказывать на экзамене не нужно

Сами теоремы Менелая и Чевы доказывать не требуется (если только это не суть задачи) — достаточно сослаться: «Применим теорему Менелая для треугольника $A B C$ и прямой $M N$ ». Но позицию точки на продолжении обязательно оговори словами.
Формулу площади через синус и соотношения в прямоугольном треугольнике достаточно напомнить (выписать), а не выводить заново.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Доказывать саму теорему Менелая или Чевы на экзамене не нужно (если только это не суть задачи). Достаточно написать: «Применим теорему Менелая для треугольника $A B C$ и прямой $M N$ ».
Всегда явно прописывай обоснование равенства площадей: « $S_{A B M} = \frac{1}{2} S_{A B C},$ так как треугольники имеют общую высоту, проведённую из вершины $B,$ а основание $A M = \frac{1}{2} A C$ ». Без этих слов проверяющие сочтут переход необоснованным и снизят баллы.
Если конфигурация задачи кажется запутанной, нарисуй чертёж крупно (на полстраницы). В планиметрии правильный, не мелкий чертёж часто сам подсказывает, какие треугольники подобны и куда применить Менелай.
Метод масс держи как страховку: если в Менелае запутался с обходом, для конкурентных чевиан результат можно перепроверить грузиками за пару строк.

Проверь себя0 из 4

1.Стороны одного треугольника в

3

раза больше сходственных сторон подобного ему треугольника. Во сколько раз больше его площадь?

2.Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Что верно про треугольники, прилежащие к боковым сторонам?

3.В прямоугольном треугольнике высота

C H,

опущенная на гипотенузу, отсекает проекции

m

n .

Чему равна высота?

4.Формулы теорем Менелая и Чевы совпадают по виду. Чем различаются конфигурации?