Часть 2, задание 5: Планиметрия

Если треугольники имеют общую высоту (их основания лежат на одной прямой), то их площади относятся как основания:

Если треугольники имеют общий (или смежный, дополняющий до $180^{\circ }$) угол $\alpha \text{,}$ то их площади относятся как произведения прилежащих к нему сторон:

Подобные фигуры: $\frac{S}{S^{\prime }}=k^2$ (квадрат коэффициента подобия).

Для треугольника $ABC$ со сторонами $a,b,c$ против вершин $A,B,C\text{:}$

Соотношение $a=2R\sin A$ постоянно используется неявно, когда переходят от сторон к углам и обратно.

Теорема Менелая. Пусть прямая (секущая) пересекает прямые, содержащие стороны $△ABC$ (или их продолжения), в точках $C_1$ на $AB\text{,}$ $A_1$ на $BC\text{,}$ $B_1$ на $CA\text{.}$ Тогда, идя по контуру $A\to B\to C\to A\text{:}$

Правило обхода/знаков. Отношения берут по обходу контура треугольника: в каждой дроби — две части стороны, разделённые точкой, в порядке «от текущей вершины к следующей». Если работать с ориентированными (знаковыми) отрезками, произведение равно $-1\text{;}$ в школьно-вузовской записи берут модули отношений и приравнивают к $1\text{,}$ а взаимное расположение (какая точка внутри стороны, какая на продолжении) контролируют по чертежу.

Теорема Чевы. Чевианы $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ (с $A_1\in BC\text{,}$ $B_1\in CA\text{,}$ $C_1\in AB$) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Различие: Менелай — про точки на одной прямой (коллинеарность, секущая), Чева — про отрезки через одну точку (конкурентность). Произведение одно и то же — отличается геометрический смысл.

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\beta =\frac{\alpha }{2}\text{.}$ Следствия:

• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны;
• угол, опирающийся на диаметр, прямой;
• равные хорды стягивают равные дуги, значит и равные вписанные углы.

Метрические соотношения. Для пересекающихся хорд $AB$ и $CD$ в точке $M\text{:}$

Для секущей $PAB$ и касательной $PK$ из внешней точки $P\text{:}$

Степень точки. Это единая величина $d^2-R^2$ со знаком ($d$ — расстояние от точки до центра, $R$ — радиус):

• для внутренней точки она отрицательна, $|d^2-R^2|=AM\cdot MB$ (произведение отрезков хорд);
• для внешней точки положительна и равна $d^2-R^2=PA\cdot PB=P{K}^2\text{.}$

Знак показывает, внутри или снаружи лежит точка; модуль — лишь абсолютная величина произведения отрезков.

Угол между касательной к окружности в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду со стороны дуги, лежащей «внутри» угла:

где $C$ — любая точка дальней дуги. Это «предельный случай» вписанного угла и часто даёт недостающее равенство углов в задачах с касанием.

Признак вписанного четырёхугольника (есть описанная окружность):

Признак описанного четырёхугольника (есть вписанная окружность) — равенство сумм противоположных сторон:

Теорема Птолемея (для вписанного четырёхугольника $ABCD$): произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

(В общем выпуклом четырёхугольнике $AC\cdot BD⩽AB\cdot CD+BC\cdot AD\text{,}$ равенство — ровно для вписанного.)
Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними: $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \phi \text{.}$

Медиана $m_a$ к стороне $a\text{:}$

Биссектриса $l_c$ к стороне $c\text{:}$

Теорема о биссектрисе (она делит противоположную сторону в отношении прилежащих):