Окружность — ДВИ

Суть темы

Задачи на окружности в чистом виде (без привязки к треугольникам или многоугольникам) на ДВИ встречаются редко. Чаще всего окружность выступает как инструмент: она задаёт равные вписанные углы, генерирует подобные треугольники через пересекающиеся хорды или позволяет использовать метрические соотношения для касательных. Именно поэтому самые ценные на ДВИ связки — это окружность + четырёхугольник (критерии вписанности/описанности, Птолемей) и окружность + тригонометрия (мост «угол ↔ длина» через $2 R sin$ ). Им ниже уделено отдельное место.

Главный принцип решения планиметрии на мехмате и ВМК — сведение сложной конструкции к базовым фигурам. Окружность идеально для этого подходит, так как её свойства связывают длины отрезков и величины углов через подобие. Альтернативный надёжный путь для сильной аудитории (ВМК, эконом) — метод координат: уравнение окружности превращает геометрию в алгебру.

Основные формулы и теоремы

Лист с формулами на экзамене не выдают, поэтому все базовые метрические соотношения нужно знать наизусть. Опорные формулы по теме собраны в справочнике (раздел «Окружность» и «Четырёхугольники») — ниже мы их не только выписываем, но и показываем идею вывода, потому что проверяющий ценит обоснование, а не только готовую формулу.

ВАЖНОЕ

Вписанные и центральные углы

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

β = \frac{α}{2}

где $β$ — вписанный угол, $α$ — центральный угол.

✓СОВЕТ

Идея вывода теоремы о вписанном угле

Проверяющий любит, когда абитуриент понимает, откуда берётся факт. Разбери случай, когда одна сторона вписанного угла $∠ B A C$ проходит через центр $O .$ Тогда $△ O A C$ равнобедренный ( $O A = O C = R$ ), значит $∠ O A C = ∠ O C A = β .$ Центральный угол $∠ B O C$ — внешний для $△ O A C,$ поэтому $∠ B O C = ∠ O A C + ∠ O C A = 2 β,$ то есть $α = 2 β .$ Общий случай (центр внутри или вне угла) сводится к этому сложением или вычитанием двух таких углов.

Следствия из этого факта:
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны.
2. Вписанный угол равен $9 0^{\circ}$ тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
3. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, стягиваемой этой хордой (и равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу).

ВАЖНОЕ

Метрические соотношения

Теорема о пересекающихся хордах: Если хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M,$ то произведения отрезков хорд равны:

A M \cdot M B = C M \cdot M D

Теорема о касательной и секущей: Если из точки $P$ вне окружности проведены касательная $P A$ ( $A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C,$ то:

P B \cdot P C = P A^{2}

✎ЗАМЕТКА

Степень точки (со знаком)

Обе эти теоремы — частные случаи понятия «степень точки относительно окружности». Если $d$ — расстояние от точки до центра, $R$ — радиус, то степень точки равна $d^{2} - R^{2}$ со знаком:

для внутренней точки $d < R,$ степень $d^{2} - R^{2} < 0$ — это случай пересекающихся хорд;
для внешней точки $d > R,$ степень $d^{2} - R^{2} > 0$ и равна $P A^{2}$ (квадрату касательной).

Произведения отрезков равны модулю степени $∣ d^{2} - R^{2} ∣$ — но именно знак различает теорему о хордах и теорему о касательной-секущей. Помнить про знак полезно: он сразу говорит, внутри точка или снаружи.

ВАЖНОЕ

Угол между секущими, хордами и касательными

Величина угла зависит от того, где находится вершина:

Вершина внутри окружности (две пересекающиеся хорды): угол равен полусумме двух дуг — той, на которую он опирается, и противоположной (вертикальной):

∠ = \frac{⌣ _{1} + ⌣ _{2}}{2} .

Вершина вне окружности (две секущие, секущая и касательная или две касательные): угол равен полуразности большей и меньшей высекаемых дуг:

∠ = \frac{⌣ _{больш} - ⌣ _{меньш}}{2} .

Вписанный угол (вершина на окружности) — половина дуги, частный случай при стремлении одной дуги к нулю.

Это семейство — прямое продолжение теоремы о вписанном угле и постоянный источник потери случая: формула «внутри» и «снаружи» разная.

Угол между секущими: внутренняя и внешняя точка

ВАЖНОЕ

Тригонометрический мост: длина хорды через вписанный угол

Теорема синусов для треугольника, вписанного в окружность радиуса $R :$

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R .

Отсюда главная связка «угол ↔ длина»: хорда равна $2 R$ на синус опирающегося на неё вписанного угла:

хорда = 2 R sin φ,

где $φ$ — любой вписанный угол, опирающийся на эту хорду (все они равны). В частности, диаметр $= 2 R =$ хорда, видимая под прямым углом.

✓СОВЕТ

Зачем нужен мост

2 R sin φ

Если в задаче известен вписанный угол и радиус — длина хорды находится в одну строку, без подобия и теоремы косинусов. Обратно: зная хорду и угол, под которым её видно с окружности, сразу получаешь $R = \frac{хорда}{2 sin φ} .$ Это часто короче, чем «опустить перпендикуляр из центра».

Тяните угол θ — видите, как sin(θ) и cos(θ) задают точку на единичной окружности

Для вычисления площадей частей круга необходимо строго следить за тем, в каких единицах задан угол.

ВАЖНОЕ

Площади и длины дуг

Для круга радиуса $R$ и центрального угла $α,$ выраженного в радианах:

Длина дуги: $L = R α$
Площадь сектора: $S_{сект} = \frac{1}{2} R^{2} α$
Площадь сегмента, стягиваемого хордой: $S_{сегм} = \frac{1}{2} R^{2} (α - sin α)$

Перевод единиц: $α_{рад} = α^{\circ} \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}} .$

Вписанные и описанные четырёхугольники

Это ядро планиметрии ДВИ: «чистая» окружность редка, а вот окружность в связке с четырёхугольником встречается постоянно. Два критерия и теорема Птолемея — обязательный минимум (см. справочник, раздел «Четырёхугольники»).

ВАЖНОЕ

Критерий вписанного четырёхугольника

Выпуклый четырёхугольник $A B C D$ можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ} .

Эквивалентная формулировка (часто удобнее в задачах): четырёхугольник вписанный $⟺$ две его вершины видят отрезок (сторону или диагональ) под равными углами, лежа по одну сторону от него — например $∠ B A C = ∠ B D C$ (углы опираются на одну дугу $B C$ ).

ВАЖНОЕ

Критерий описанного четырёхугольника

В выпуклый четырёхугольник $A B C D$ можно вписать окружность (он описанный) тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

A B + C D = B C + A D .

ВАЖНОЕ

Теорема Птолемея

Для вписанного четырёхугольника $A B C D$ произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D .

В общем случае (для любого выпуклого четырёхугольника) выполняется неравенство Птолемея: $A C \cdot B D ⩽ A B \cdot C D + B C \cdot A D,$ с равенством только для вписанного.

Вписанный четырёхугольник и теорема Птолемея

ПРИМЕР 4

Вписанный четырёхугольник + теорема Птолемея

Равносторонний треугольник $A B C$ вписан в окружность. На дуге $B C,$ не содержащей вершину $A,$ взята точка $P .$ Известно, что $B P = 3,$ $C P = 5 .$ Найдите сторону треугольника $A B C$ и длину отрезка $A P .$

Касающиеся окружности

На ДВИ часто дают задачи с двумя или несколькими окружностями. Главное правило: окружности касаются внешним (или внутренним) образом тогда и только тогда, когда их центры и точка касания лежат на одной прямой.

При внешнем касании расстояние между центрами равно $R + r .$
При внутреннем касании расстояние между центрами равно $∣ R - r ∣ .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Если тип касания не задан условием — разбери ОБА случая

Когда в условии написано просто «окружности касаются» (без слова «внешним» или «внутренним»), под рубрику ДВИ нужно рассмотреть оба случая: внешнее ( $d = R + r$ ) и внутреннее ( $d = ∣ R - r ∣$ ). Потеря одного случая = потеря решения/корня и снятие баллов. Зафиксируй на черновике: «возможны два расположения», и доведи каждый до ответа (некоторые могут отсеяться по геометрической непротиворечивости — это тоже надо проговорить).

Метод координат для окружности

Для сильной аудитории (ВМК, эконом) координаты — надёжный «лобовой» способ: геометрия сводится к алгебре, и не нужно угадывать дополнительные построения. Опорные формулы — в справочнике (раздел «Координаты на плоскости»).

ВАЖНОЕ

Уравнение окружности и пересечения

Окружность радиуса $R$ с центром $(a; b) :$

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2} .

Прямая и окружность: подставить уравнение прямой в уравнение окружности — получится квадратное уравнение; число корней (по дискриминанту) даёт число точек пересечения. Касание $⟺ D = 0 ⟺$ расстояние от центра до прямой равно $R :$ $d (O, ℓ) = \frac{∣ A a + B b + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}} = R .$
Две окружности: вычитая их уравнения, квадратичные члены $x^{2}, y^{2}$ сокращаются — остаётся линейное уравнение. Это уравнение радикальной оси; при пересечении окружностей она содержит их общую хорду.

ПРИМЕР 5

Общая хорда двух окружностей (метод координат)

Две окружности заданы уравнениями $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 6)^{2} + y^{2} = 25 .$ Найдите длину их общей хорды.

АЛГОРИТМ

Алгоритм подхода к задаче с окружностью

1. Ищи равные углы. Отметь все вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги. Это первый шаг к поиску подобных треугольников. Если в конструкции есть четырёхугольник — проверь критерий вписанности ( $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ).
2. Проведи радиусы в точки касания. Если в задаче есть касательная, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Это даёт прямоугольные треугольники.
3. Соедини центры. Если окружности касаются друг друга (или пересекаются), линия центров — ключевой элемент конструкции. При пересечении она перпендикулярна общей хорде и делит её пополам. Если тип касания не задан — заложи разбор обоих случаев.
4. Примени метрические теоремы. Если есть пересечения линий внутри или вне окружности, запиши соотношения для отрезков секущих и хорд (следи за знаком степени точки).
5. Не получается синтетически — ставь координаты. Удачно выбранная система (центр в начале, линия центров вдоль оси) часто превращает задачу в короткое алгебраическое вычисление; общую хорду ищи вычитанием уравнений.

Примеры задач

Примеры ниже демонстрируют, как комбинировать базовые факты для решения многошаговых задач уровня ДВИ.

ПРИМЕР 1

Секущая и прямоугольный треугольник

Из внешней точки $P$ к окружности радиуса $R = 2$ проведена касательная $P A$ ( $A$ — точка касания) и секущая, проходящая через центр окружности $O$ и пересекающая её в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между $P$ и $O$ ). Известно, что $∠ A P C = 3 0^{\circ} .$ Найдите площадь треугольника $P A B .$

ПРИМЕР 2

Перпендикулярные хорды и радиус

Хорды $A B$ и $C D$ некоторой окружности пересекаются в точке $M .$ Известно, что $A M = 3,$ $M B = 4,$ $C M = 2,$ а длина отрезка $A C$ равна $13 .$ Найдите радиус данной окружности.

ПРИМЕР 3

Три касающиеся окружности

Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются друг друга внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная. Третья окружность касается обеих данных окружностей внешним образом, а также касается их общей внешней касательной. Найдите радиус третьей окружности.

ПРИМЕР 6

Задача на доказательство: точки лежат на одной окружности

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ (где $B_{1}$ на $A C,$ $C_{1}$ на $A B$ ). Докажите, что четыре точки $B,$ $C,$ $B_{1},$ $C_{1}$ лежат на одной окружности, и укажите её центр.

Высокий уровень: окружность как геометрическое место точек

✓СОВЕТ

Окружность Аполлония

Геометрическое место точек $M,$ для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек $A$ и $B$ постоянно и не равно $1 :$

\frac{M A}{M B} = k (k \neq = 1, k > 0),

— это окружность (окружность Аполлония). Её диаметром служит отрезок между двумя точками на прямой $A B,$ делящими отрезок $A B$ в отношении $k$ внутренним и внешним образом. При $k = 1$ ГМТ вырождается в серединный перпендикуляр к $A B$ (прямую, а не окружность).

Это узнаваемый сложный ДВИ-типаж: как только в условии фигурирует постоянное отношение расстояний — подозревай окружность Аполлония. Координатный путь: записать $M A^{2} = k^{2} M B^{2},$ раскрыть — квадратичные члены дадут уравнение окружности.

Окружность Аполлония: ГМТ точек с постоянным отношением MA/MB=k

✓СОВЕТ

Окружность как ГМТ постоянного угла

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок $A B$ виден под постоянным углом $φ,$ — это дуга окружности (точнее, две симметричные дуги по обе стороны от $A B$ ), для которой $A B$ — хорда, стягивающая вписанный угол $φ .$ Радиус такой окружности находится из моста $A B = 2 R sin φ,$ то есть $R = \frac{A B}{2 sin φ} .$ Частный случай $φ = 9 0^{\circ}$ — окружность с диаметром $A B$ (см. Пример 6).

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с центрами вписанных и описанных окружностей

Ошибка: Считать, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении высот или медиан.
Правильно: Центр вписанной окружности всегда лежит на пересечении биссектрис углов. Центр описанной окружности — на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Угол между секущими: внутри — полусумма, снаружи — полуразность

Ошибка: Применять формулу «угол равен половине дуги» одинаково для вершины внутри и вне окружности.
Правильно: Для вершины внутри окружности угол равен полусумме двух высекаемых дуг; для вершины вне окружности — полуразности большей и меньшей дуг. Это разные формулы, и путаница даёт неверный ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не разобран тип касания / расположение точки

Ошибка: При фразе «окружности касаются» (без уточнения) рассмотреть только внешнее касание; при метрических задачах не учесть, что точка может лежать между концами хорды или вне отрезка.
Правильно: Если условие не фиксирует конфигурацию — разбери все случаи: внешнее ( $d = R + r$ ) и внутреннее ( $d = ∣ R - r ∣$ ) касание; «точка между» и «точка вне». Под рубрику МГУ потеря случая = потеря баллов.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак степени точки потерян

Ошибка: Запоминать степень точки только как $∣ d^{2} - R^{2} ∣$ и не различать внутреннюю/внешнюю точку.
Правильно: Степень точки $= d^{2} - R^{2}$ со знаком: отрицательна внутри (хорды), положительна снаружи ( $= P A^{2}$ ). Знак сразу подсказывает, какая из двух теорем работает.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Градусы вместо радиан в формуле площади

Ошибка: Использовать формулу площади сектора $S = \frac{1}{2} R^{2} α,$ подставляя вместо $α$ значение в градусах (например, $6 0^{\circ}$ ).
Правильно: Эта формула работает только для радианной меры. Если угол дан в градусах, его необходимо перевести: $α_{рад} = α^{\circ} \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}} .$

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важен не только верный ответ, но и полнота, обоснованность и разбор всех конфигураций. В планиметрии баллы теряют не на арифметике, а на недоказанных переходах и пропущенных случаях.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения планиметрической задачи на окружность

1. Чертёж и обозначения. Нарисуй аккуратную картинку, введи все точки буквами, отметь данные (равные углы, прямые углы, длины). Чертёж — часть решения, по нему проверяющий читает логику.
2. Назови каждый используемый факт. «По теореме о вписанном угле…», « $O A ⊥ P A,$ так как $P A$ — касательная», « $△ M A C \sim △ M D B$ по двум углам ( $∠ A M C = ∠ D M B$ вертикальные, $∠ M C A = ∠ M B D$ вписанные на дугу $A D$ )». Соответствие вершин в подобии выписывай явно.
3. Разбери все конфигурации. Если тип касания/расположение точки не задан — рассмотри каждый вариант и доведи до ответа (или явно отбрось с обоснованием).
4. Вычисления с промежуточными результатами. Каждый шаг — отдельная строка с пояснением, что и по какой формуле найдено.
5. Ответ и проверка. Запиши итог; где возможно — проверь согласованность (как в Примере 1: $P A^{2} = P B \cdot P C$ ). В задачах на доказательство закончи явным «что и требовалось доказать».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на планиметрии окружности

Подобие/равенство треугольников использовано со словом «очевидно» или без указания признака и сопоставления вершин — снимают за необоснованность.
Потерян случай: не рассмотрено внутреннее касание, второе положение точки, вторая дуга вписанного угла — частичный балл вместо полного.
Формула площади $\frac{1}{2} ab sin C$ применена, когда угол не между этими сторонами — грубая ошибка.
Площадь сектора/сегмента посчитана с углом в градусах в формуле для радиан.
В задаче «докажите» приведён частный пример/измерение по чертежу вместо общего рассуждения — не засчитывается как доказательство.

Что запомнить

Все вписанные углы, смотрящие на одну дугу, равны. Это самый мощный инструмент для поиска подобных треугольников.
Хорда $= 2 R sin φ,$ где $φ$ — опирающийся на неё вписанный угол. Главный мост «угол ↔ длина».
Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой (и равен вписанному углу на эту дугу).
Угол между секущими: вершина внутри — полусумма дуг, вершина вне — полуразность.
Четырёхугольник вписанный $⟺ ∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ};$ описанный $⟺ A B + C D = B C + A D;$ для вписанного — теорема Птолемея $A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D .$
Теоремы о секущих и хордах ( $A M \cdot M B = C M \cdot M D$ ) работают всегда, независимо от расположения центра; степень точки $d^{2} - R^{2}$ — со знаком.
Для касающихся окружностей расстояние между центрами — это сумма ( $R + r$ ) или разность ( $∣ R - r ∣$ ) радиусов; если тип не задан — разбери оба.
Координатный метод: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2};$ общую хорду двух окружностей даёт вычитание их уравнений (радикальная ось).

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Обоснование подобия

Проверяющие на мехмате очень строго относятся к необоснованным утверждениям. Если ты используешь подобие треугольников, обязательно укажи, по какому признаку они подобны, и выпиши цепочку равенств углов с сопоставлением вершин ( $△ M A C \sim △ M D B :$ $M \leftrightarrow M,$ $A \leftrightarrow D,$ $C \leftrightarrow B$ ). Запись вида « $△ A B C \sim △ K M N$ (очевидно)» приведёт к потере баллов за обоснование.

✓СОВЕТ

Дополнительные построения

Если в задаче даны две касающиеся окружности, первое действие на черновике — провести прямую через их центры. В $90%$ случаев эта линия будет участвовать в ключевом прямоугольном треугольнике или теореме Пифагора.

✓СОВЕТ

Когда переходить на координаты

Если конструкция «не раскручивается» синтетически за 10–15 минут (особенно на ВМК/эконом), ставь систему координат: центр окружности в начало, линию центров вдоль оси $O x .$ Уравнение окружности и формула расстояния от точки до прямой обычно доводят задачу до короткого алгебраического вычисления, а общую хорду двух окружностей даёт простое вычитание уравнений.

Проверь себя0 из 4

1.Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Чему он равен?

2.Хорда окружности радиуса

R

видна с окружности под вписанным углом

φ .

Чему равна длина хорды?

3.Вершина угла лежит ВНЕ окружности (две секущие). Чему равен угол?

4.Окружности радиусов

R

r

касаются внутренним образом. Чему равно расстояние между их центрами?