Многогранники — ДВИ

Что проверяют в задачах на многогранники

Стереометрия на ДВИ (обычно это задача №7) требует не только пространственного воображения, но и безупречной строгости. В отличие от ЕГЭ, здесь нельзя опираться на интуицию. Если ты строишь сечение — докажи, почему точки соединяются именно так. Если утверждаешь, что высота падает в центр — выведи это. Лист формул на ДВИ не выдают, поэтому ключевые формулы (объёмы, площади, радиусы вписанной/описанной сферы) нужно либо помнить, либо уметь быстро вывести.

Ключевые темы:

Построение сложных сечений (метод следов) — и в тетраэдре, и в призме/кубе.
Применение теоремы Менелая для расчёта отношений отрезков в пространстве.
Вычисление объёмов частей многогранника без прямого поиска высот (метод отношений).
Двугранные углы и их вычисление через линейный угол и теорему о трёх перпендикулярах (ТТП).
Вписанные и описанные сферы: радиусы $r,$ $R,$ условия касания.
Расстояния и углы между скрещивающимися прямыми.

✓СОВЕТ

Опорные факты — держи под рукой

Эти факты на ДВИ нужно либо явно доказывать, либо хотя бы корректно ссылаться на них. В конспекте они выводятся/применяются ниже:

Центроид (точка пересечения медиан) треугольника делит каждую медиану в отношении $2 : 1,$ считая от вершины.
Высота правильной пирамиды проектируется в центр основания (по симметрии: все боковые рёбра равны $\Rightarrow$ основание высоты равноудалено от вершин $\Rightarrow$ это центр описанной окружности, для правильного многоугольника совпадающий с центром).
Если боковые рёбра пирамиды равны — высота падает в центр описанной окружности основания; если боковые грани одинаково наклонены к основанию — в центр вписанной.

Ключевые формулы

Помимо базовых формул объёма ( $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$ для пирамиды и $V = S_{осн} H$ для призмы), на ДВИ критически важно знать несколько специфических теорем. Они часто сокращают решение задачи с трёх страниц до трёх строк. Полный список объёмов/поверхностей тел — см. справочник, раздел «Стереометрия».

ВАЖНОЕ

Объём тетраэдра через скрещивающиеся рёбра

Объём любого тетраэдра $A B C D$ можно найти через длины двух противоположных рёбер $A B$ и $C D,$ расстояние $d$ между ними и угол $φ$ между этими рёбрами:

V = \frac{1}{6} \cdot A B \cdot C D \cdot d \cdot sin φ

✎ЗАМЕТКА

Откуда берётся формула

V = \frac{1}{6} A B \cdot C D \cdot d \cdot sin φ

Достроим тетраэдр $A B C D$ до призмы (или параллелепипеда), у которой рёбра $A B$ и $C D$ лежат в двух параллельных плоскостях, отстоящих на расстояние $d .$ Объём параллелепипеда, построенного на векторах, есть модуль смешанного произведения; через противоположные рёбра он равен $A B \cdot C D \cdot d \cdot sin φ$ (площадь параллелограмма-«сечения» $\times$ высота). Тетраэдр составляет $\frac{1}{6}$ этого объёма. Эквивалентная векторная запись: $V = \frac{1}{6} (A B, A C, A D)$ (см. справочник, смешанное произведение).

ВАЖНОЕ

Отношение объёмов тетраэдров с общим трёхгранным углом

Если на рёбрах $S A,$ $S B,$ $S C$ тетраэдра $S A B C$ взяты точки $A_{1},$ $B_{1},$ $C_{1}$ соответственно, то отношение объёмов отсечённого и исходного тетраэдров равно произведению отношений рёбер:

\frac{V _{S A_{1} B_{1} C_{1}}}{V _{S A B C}} = \frac{S A _{1}}{S A} \cdot \frac{S B _{1}}{S B} \cdot \frac{S C _{1}}{S C}

Метод объёмов и теорема Менелая

Самый мощный инструмент для задач на сечения пирамид — теорема Менелая. Она применяется к треугольникам, лежащим в гранях многогранника, чтобы найти, в каком отношении секущая плоскость делит рёбра.

ВАЖНОЕ

Теорема Менелая (плоский случай)

Если прямая (трансверсаль) пересекает прямые, содержащие стороны $△ A B C,$ в точках $C_{1}$ (на прямой $A B$ ), $A_{1}$ (на прямой $B C$ ), $B_{1}$ (на прямой $C A$ ), то

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1.

Отношения берут по обходу контура $A \to B \to C \to A .$ Важно: трансверсаль обязательно пересекает либо две стороны и продолжение третьей, либо продолжения всех трёх — поэтому одна из точек ( $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ) почти всегда лежит вне отрезка-стороны. Если в задаче ожидается точка следа на продолжении ребра, это нормально (см. Пример 2).

Теорема Менелая: трансверсаль пересекает стороны треугольника и их продолжения

АЛГОРИТМ

Алгоритм: как делить объёмы сечениями

1. Построй след секущей плоскости. Найди точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с прямой, лежащей в плоскости основания (или соседней грани).
2. Примени теорему Менелая. Рассмотри треугольник в грани и прямую-след как трансверсаль. Составь пропорцию $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1,$ чтобы найти неизвестное отношение отрезков. Следи за тем, какая точка ушла на продолжение.
3. Разбей сложную фигуру на тетраэдры. Если плоскость отсекает не треугольную пирамиду, разбей её на две или более треугольных.
4. Сравни объёмы. Используй формулу отношения объёмов с общим трёхгранным углом. Вычти или сложи полученные части.

✓СОВЕТ

Метод следов vs теорема Менелая — когда что

Это два разных инструмента, не путай их назначение:

Метод следов отвечает на вопрос «где проходит граница сечения»: строит саму ломаную сечения по граням (применяется к призме, кубу, любой пирамиде — см. отдельный пример ниже).
Теорема Менелая отвечает на вопрос «в каком отношении секущая делит ребро»: это уже расчёт на плоском чертеже грани, когда направление следа известно.
Сначала строишь след (метод следов), затем считаешь отношения (Менелай) — обычно на выносном плоском чертеже грани.

Двугранные углы и теорема о трёх перпендикулярах

Двугранный угол — это угол между двумя полуплоскостями, выходящими из общего ребра. Его величина измеряется линейным углом: из точки $M$ на ребре в каждой грани проводят перпендикуляр к ребру; угол между этими перпендикулярами и есть искомый.

ВАЖНОЕ

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной $⟺$ она перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

Это рабочий инструмент построения линейного угла: чтобы получить перпендикуляр к ребру в наклонной грани, достаточно опустить перпендикуляр к ребру в основании (проекции) — тогда наклонная к нему тоже перпендикулярна.

Двугранный угол: линейный угол и теорема о трёх перпендикулярах

ПРИМЕР 0

Двугранный угол при основании правильной пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания равна $a,$ высота равна $h .$ Найди двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Вписанные и описанные сферы

Это одна из самых частых тем стереометрии ДВИ.

ВАЖНОЕ

Радиус вписанной сферы

Сфера, вписанная в многогранник (касается всех граней), имеет радиус

r = \frac{3 V}{S _{полн}},

где $V$ — объём, $S_{полн}$ — полная поверхность. Вывод: соедини центр сферы со всеми вершинами — многогранник разобьётся на пирамиды с вершиной в центре и высотой $r$ (расстояние до каждой грани). Тогда $V = \sum \frac{1}{3} S_{i} r = \frac{1}{3} r S_{полн} .$

ВАЖНОЕ

Описанная сфера

Центр описанной сферы (проходит через все вершины) равноудалён от вершин, поэтому лежит на пересечении плоскостей, перпендикулярных рёбрам и проходящих через их середины (серединных перпендикуляров). Часто его удобно искать как точку оси симметрии тела или через координаты. Сечение сферы плоскостью на расстоянии $d$ от центра — окружность радиуса $ρ = R^{2} - d^{2} .$

Осевое сечение: вписанная и описанная сферы

ПРИМЕР 0Б

Сферы правильного тетраэдра

В правильный тетраэдр с ребром $a$ вписана сфера и около него описана сфера. Найди радиусы $r$ и $R .$

Построение сечения призмы (куба) методом следов

В тетраэдре сечения часто считают через Менелай, но классический метод следов нагляднее всего работает на призме и кубе. Покажем приём целиком.

ПРИМЕР 0В

Сечение куба плоскостью через три точки

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $a .$ Точка $P$ — середина ребра $A B,$ точка $R$ — середина ребра $A D .$ Построй сечение куба плоскостью, проходящей через точки $P,$ $R$ и вершину $C_{1} .$ В каком отношении плоскость делит рёбра $B B_{1}$ и $D D_{1} ?$

Примеры

ПРИМЕР 1

Расстояние между скрещивающимися рёбрами

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания равна $a,$ а боковое ребро равно $b .$ Найди расстояние между прямыми $S A$ и $B C .$

ПРИМЕР 2

Отношение объёмов с помощью Менелая

Дан тетраэдр $A B C D .$ На ребре $A D$ взята точка $M$ так, что $A M : M D = 1 : 2 .$ На ребре $B D$ взята точка $N$ так, что $D N : N B = 1 : 1 .$ На ребре $B C$ взята точка $K$ так, что $B K : K C = 2 : 1 .$ Плоскость, проходящая через точки $M, N, K,$ пересекает ребро $A C$ в точке $L .$ В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

ПРИМЕР 3

Объём тетраэдра через противоположные рёбра

В тетраэдре $A B C D$ рёбра $A B$ и $C D$ перпендикулярны, $A B = 6,$ $C D = 8,$ а расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ равно $5 .$ Найди объём тетраэдра.

Усечённая пирамида и площади

ВАЖНОЕ

Объём усечённой пирамиды

Если основания усечённой пирамиды имеют площади $S_{1}$ и $S_{2},$ а высота равна $H,$ то

V = \frac{1}{3} H (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2}) .

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_{1} + P_{2}) a,$ где $P_{1}, P_{2}$ — периметры оснований, $a$ — апофема боковой грани. Полная поверхность тела: $S_{полн} = S_{бок} + S_{1} + S_{2} .$

ПРИМЕР 4

Объём усечённой пирамиды

Высота правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна $H = 3,$ стороны квадратных оснований равны $4$ и $2 .$ Найди объём.

Правильные (платоновы) многогранники — краткий справочный блок

Полезные опорные соотношения (рёбра обозначены $a$ ):

Тело	Граней	Вершин	Рёбер	Объём
Тетраэдр (4 треугольника)	4	4	6	$V = \frac{a ^{3} 2}{12}$
Куб (гексаэдр)	6	8	12	$V = a^{3}$
Октаэдр (8 треугольников)	8	6	12	$V = \frac{a ^{3} 2}{3}$

Для всех проверяется формула Эйлера $В - Р + Г = 2$ (вершины $-$ рёбра $+$ грани). Для правильного тетраэдра: вписанная и описанная сферы концентричны, $R = 3 r$ (см. Пример 0б). Двугранный угол правильного тетраэдра равен $arccos \frac{1}{3} \approx 70, 5^{\circ} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Произвольное соединение точек в сечении

Ошибка: Соединить точки $M$ и $K$ на скрещивающихся рёбрах тетраэдра и заявить, что отрезок $M K$ — это граница сечения.
Правильно: Линия сечения может проходить только по граням многогранника. Если точки лежат в разных гранях, их нельзя просто соединить видимой линией сечения. Необходимо искать пересечения секущей плоскости с плоскостями граней (метод следов).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отношение объёмов для произвольных пирамид

Ошибка: Считать, что формула $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{a _{1} b _{1} c _{1}}{a b c}$ работает для любых многогранников, вписанных один в другой.
Правильно: Эта формула работает только тогда, когда две треугольные пирамиды (тетраэдры) имеют общий трёхгранный угол (общую вершину, и их рёбра лежат на одних и тех же лучах или прямых).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Точка следа уходит на продолжение ребра

Ошибка: В теореме Менелая ставить точку пересечения трансверсали со стороной всегда внутри отрезка.
Правильно: Трансверсаль обязательно пересекает либо две стороны и продолжение третьей, либо продолжения всех трёх. В пространственных задачах точка следа $P$ часто лежит вне ребра (за вершиной) — это не ошибка, а норма (см. Пример 2: $P$ за вершиной $A$ ). Проверяй конфигурацию по чертежу: где именно лежит точка следа.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Высота правильной пирамиды «падает в центр» без обоснования

Ошибка: Без пояснения писать $O M = \frac{1}{3} A M$ или сразу ставить высоту в центр основания.
Правильно: Сошлись на опорный факт: у правильной пирамиды все боковые рёбра равны $\Rightarrow$ основание высоты равноудалено от вершин $\Rightarrow$ это центр описанной окружности (для правильного многоугольника — центр), а центроид треугольника делит медиану $2 : 1$ от вершины. Под рубрику ДВИ такие переходы нужно проговаривать (см. Пример 1).

Что запомнить

Если просят найти объём тетраэдра, а известны длины противоположных скрещивающихся рёбер, расстояние между ними и угол — сразу используй формулу $V = \frac{1}{6} A B \cdot C D \cdot d \cdot sin φ$ (см. Пример 3).
Задачи на «в каком отношении плоскость делит объём» в большинстве случаев сводятся к теореме Менелая и вычитанию объёмов «виртуальных» (достроенных) тетраэдров (см. Пример 2).
Радиус вписанной сферы $r = \frac{3 V}{S _{полн}};$ описанную сферу ищи через равноудалённость центра от вершин (ось симметрии или координаты).
Двугранный угол — это линейный угол; строй его через перпендикуляры к ребру в обеих гранях и обосновывай теоремой о трёх перпендикулярах.
Если в основании сложная фигура (трапеция, нерегулярный пятиугольник) — смело разбивай многогранник на треугольные пирамиды.

Оформление под рубрику ДВИ

✓СОВЕТ

Эталон полного решения по стереометрии

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичными баллами «±». Чтобы собрать максимум, структурируй решение так:
1. Чертёж + введённые обозначения. Крупный аккуратный чертёж, на нём подписаны все ключевые точки; в тексте — «Пусть $M$ — середина $B C,$ $O$ — центр основания…». Это уже даёт частичный балл, даже если счёт не доведён.
2. План и обоснование переходов. Каждый геометрический переход — со ссылкой на признак/теорему: « $B C ⊥ (S A M)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как $B C ⊥ A M$ и $B C ⊥ S M$ ». Недоказанный переход («высота падает в центр») снимает «±», даже если ответ верный.
3. Сведение к плоскости. Сложное сечение — на выносной плоский чертёж грани; на нём применяй планиметрию (Менелай, подобие, теорема косинусов).
4. Доведённый счёт + ответ. Аккуратная арифметика, ответ в замкнутой форме.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» в стереометрии

Верный чертёж и план, но счёт не доведён или с арифметической ошибкой — частичный балл (план засчитан, ответ нет).
Правильный ответ, но необоснованные переходы (не сослался на признак, взял $O M = \frac{1}{3} A M$ без объяснения, поставил точку следа не туда) — снимают баллы за строгость.
Потерян случай: секущая плоскость не пересекает ребро (параллельна ему / даёт точку на продолжении) — частая «дыра» в полноте решения.
Нет обоснования, что построенная фигура — именно сечение (что точки соединены по граням) — теряется балл за корректность построения.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Обоснование и чертёж

Проверяющие ДВИ строго карают за необоснованные геометрические переходы.
1. Если ты утверждаешь, что прямая перпендикулярна плоскости, обязательно сошлись на признак (перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости).
2. Чертёж должен быть крупным и аккуратным. Если сечение сложное, делай выносные плоские чертежи граней — на них гораздо проще применять планиметрические теоремы (Менелая, подобие).
3. При расчёте отношений отрезков на выносном чертеже обязательно пиши словами: «Применим теорему Менелая для треугольника $A B D$ и трансверсали $M N P$ », и отдельно отмечай, какая точка следа лежит на продолжении ребра.
4. Лист формул не выдают — заранее выучи объёмы тел, $r = \frac{3 V}{S}$ и формулу тетраэдра через противоположные рёбра; остальное умей выводить.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен объём тетраэдра, если противоположные рёбра

A B

C D

образуют угол

φ,

а расстояние между ними равно

d ?

2.Чему равен радиус сферы, вписанной в многогранник объёма

V

с полной поверхностью

S_{полн} ?

3.Каково отношение

R : r

радиусов описанной и вписанной сфер правильного тетраэдра?

4.Куда попадает основание высоты пирамиды, если все боковые рёбра равны?