Задача №17960

Какое число больше: $\sqrt{\frac{7}{9}+7+\frac{9}{7}}$ или $3\text{?}$

Сравним $A=\sqrt{\frac{7}{9}+7+\frac{9}{7}}$ и $3\text{.}$ Подкоренное выражение положительно, поэтому $A>0\text{,}$ и сравнение $A$ с $3$ равносильно сравнению квадратов $A^2$ и $3^2=9$ (так как функция $t\mapsto t^2$ строго возрастает на $[0,+\infty )$).

Имеем

Для положительных $\frac{7}{9}$ и $\frac{9}{7}$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

причём равенство достигалось бы лишь при $\frac{7}{9}=\frac{9}{7}\text{,}$ что неверно; значит неравенство строгое:

Следовательно $A^2>7+2=9\text{.}$

Поскольку $A>0$ и $A^2>9=3^2\text{,}$ а корень монотонно возрастает, получаем $A>3\text{.}$

Точное значение: $A^2=\frac{7}{9}+7+\frac{9}{7}=\frac{49+441+81}{63}=\frac{571}{63}=9+\frac{4}{63}>9\text{,}$ поэтому $A=\frac{\sqrt{3997}}{21}>3\text{.}$

Ответ: первое число больше.