Задача №17833

Вычислите ${\log }_{16}6\cdot {\log }_{6}8\text{.}$

Требуется вычислить ${\log }_{16}6\cdot {\log }_{6}8\text{.}$

Перейдём к натуральным логарифмам (или к логарифмам по основанию $2$) по формуле перехода ${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}\text{.}$ Все основания положительны и не равны $1$ ($16\ne 1\text{,}$ $6\ne 1$), все аргументы положительны ($6>0\text{,}$ $8>0$), поэтому оба логарифма определены и ОДЗ выполнено автоматически — никаких ограничений или посторонних значений здесь не возникает.

Множители $\ln 6$ в числителе первой дроби и в знаменателе второй сокращаются:

Теперь $8=2^3$ и $16=2^4\text{,}$ значит $\ln 8=3\ln 2$ и $\ln 16=4\ln 2\text{:}$

(Эквивалентно: $\frac{\ln 8}{\ln 16}={\log }_{16}8={\log }_{2^4}{2}^3=\frac{3}{4}$ по свойству ${\log }_{a^k}{a}^m=\frac{m}{k}\text{.}$)

Итак, ${\log }_{16}6\cdot {\log }_{6}8=\frac{3}{4}\text{.}$