Анализ геометрических высказываний (Задание 19)
Задание 19 — последнее в геометрическом блоке первой части ОГЭ. Тебе дают три утверждения про фигуры, углы, окружности, и просят выбрать номер того, которое истинно (иногда истинных оказывается несколько — тогда в ответ идут все их номера). Никаких вычислений с числами тут почти нет — проверяется, знаешь ли ты определения и свойства геометрии на уровне «правда или неправда».
Секрет в том, что это задание не на память формул, а на внимательность. Ложные утверждения тут делают хитро: берут почти правильную фразу и портят её одним словом — «всегда», «любой», «только», либо переворачивают дробь или меняют одну фигуру на другую. Твоя работа — заметить подвох и подобрать контрпример.
iЗАМЕЧАНИЕ
Что такое высказывание
Высказывание — это утверждение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. «Сумма углов треугольника равна 180∘» — истинное высказывание. «Все треугольники красивые» — вообще не высказывание (нельзя проверить).
Главное правило логики: чтобы доказать, что высказывание ложно, достаточно одного контрпримера. А чтобы утверждать, что оно истинно, оно должно выполняться всегда, без единого исключения.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Порог по геометрии
Задания 15–19 — это геометрия. По правилам ОГЭ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Задание 19 — одно из самых лёгких в этом блоке (не надо ничего строить и считать), поэтому балл за него терять нельзя: он часто и есть один из тех спасительных геометрических баллов.
Как устроены ловушки
Почти все ложные утверждения в задании 19 собраны по одним и тем же шаблонам. Узнаёшь шаблон — сразу видишь, где искать ошибку.
✓СОВЕТ
Слова-маркеры «всегда / любой / только»
Если в утверждении стоит категоричное слово — всегда, любой, каждый, только один, — оно требует, чтобы свойство выполнялось абсолютно во всех случаях. Достаточно найти хотя бы одну фигуру-исключение — и высказывание ложно.
Разбор ловушки со словом «всегда»
«Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри треугольника.»
Для остроугольного треугольника это правда. Но у тупоугольного центр описанной окружности лежит снаружи, а у прямоугольного — на середине гипотенузы (на самой стороне). Слово «всегда» разрушает утверждение — оно ложно.
ВАЖНОЕ
Перевёрнутое отношение
В определениях синуса, косинуса, тангенса ловушка часто в том, что дробь перевёрнута. Помни точные определения для острого угла прямоугольного треугольника:
sinα=гипотенузапротиволежащий катет,cosα=гипотенузаприлежащий катет,tgα=прилежащийпротиволежащийГипотенуза — самая длинная сторона, поэтому синус и косинус острого угла всегда меньше 1. Если в утверждении получается дробь больше 1 — оно точно ложно.
ВАЖНОЕ
Подмена фигуры
Свойство одной фигуры выдают за свойство другой, более общей. Классика:
S=21d1d2- это площадь только для ромба, квадрата (диагонали⊥),а для произвольного параллелограмма S=ah. Утверждение «площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей» — ложно.
Мини-справочник фактов
Вот факты, которые чаще всего проверяют. Выучи их как «правда» — тогда ложные версии будешь ловить мгновенно.
iЗАМЕЧАНИЕ
Треугольники
- Сумма углов любого треугольника равна 180∘ (а не 90∘!).
- Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности (равноудалён от сторон).
- Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности (равноудалён от вершин).
- Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 от вершины.
- Против большей стороны лежит больший угол.
- В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90∘.
iЗАМЕЧАНИЕ
Четырёхугольники
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
- Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам.
- Диагонали прямоугольника равны.
- Около четырёхугольника можно описать окружность ⟺ суммы противоположных углов равны 180∘.
- В четырёхугольник можно вписать окружность ⟺ суммы противоположных сторон равны.
iЗАМЕЧАНИЕ
Окружность
- Окружность — множество всех точек, удалённых от центра на расстояние, равное радиусу (это её определение).
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90∘.
- Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Алгоритм решения
АЛГОРИТМ
Как выполнять задание 19
1. Читай каждое утверждение по отдельности и не спеши — обычно истинное ровно одно, но проверить нужно все.
2. Ищи слова-маркеры «всегда», «любой», «только». Если оно есть — попробуй придумать фигуру-исключение (тупоугольный, вырожденный, неравнобедренный случай).
3. Сверь определения синуса/косинуса и формулы площадей — не перевёрнута ли дробь, не подменена ли фигура.
4. Нашёл контрпример — вычёркивай утверждение как ложное. Осталось одно — это и есть ответ.
5. Запиши в бланк номер истинного утверждения. Если в задании просят выбрать несколько верных — выпиши все их номера подряд по возрастанию, без пробелов и запятых (например, 13).
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Формат ответа
Ответ — это номер утверждения (одна цифра), а не слово «истина» и не сам текст утверждения. Если верных несколько — пиши цифры подряд в порядке возрастания: 24, а не 4 2 и не 4, 2. Никаких единиц измерения, слов и пробелов в бланке быть не должно.
Разбор примеров из банка
Все три задачи ниже — реальные из нашего банка ОГЭ. Приём один и тот же: отсеиваем ложные контрпримерами, оставшееся — ответ.
ПРИМЕР 1
Центр вписанной окружности
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.
ПРИМЕР 2
Определение косинуса
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
ПРИМЕР 3
Слово «всегда» и «только одна прямая»
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Как не потерять этот балл
- Время: 1–2 минуты. Вычислений нет — только узнавание фактов.
- Не доверяй первому впечатлению. Утверждение, которое «звучит правильно», часто испорчено одним словом. Прочитай его целиком.
- Проверяй крайние случаи. Тупоугольный, прямоугольный, вырожденный, неравнобедренный — именно на них ломаются слова «всегда» и «любой».
- Оставшийся кандидат. Если два утверждения точно ложны, третье почти наверняка истинно — но всё равно бегло его подтверди.
- Балл за геометрию. Помни про порог: этот лёгкий геометрический балл может решить, будет твоя отметка выше «2» или нет.
Отработка
Разбор — это половина дела. Закрепи навык на живых задачах банка:
- Все задачи типа 19: bank /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-19
- Коллекция по теме «Анализ геометрических высказываний»:
topic-analiz-vyskazyvaniy-19-oge
Прорешай подряд 10–15 штук: цель — чтобы к слову «всегда» рука сама тянулась искать контрпример, а перевёрнутую дробь в определении синуса ты замечал с первого взгляда.