Задача №19737

Туристический поход «Заозёрье»

Группа из 6 туристов планирует двухдневный поход по окрестностям деревни Берёзовка. На плане местности (масштаб: 1 см соответствует 2 км) отмечены деревня Берёзовка, деревня Сосновка, турбаза «Светлая», мост через реку Быстрянку и озеро Светлое.

От Берёзовки на восток идёт прямая грунтовая дорога к мосту. От моста строго на север вдоль берега озера ведёт тропа к турбазе «Светлой». От турбазы лесная тропа выходит к деревне Сосновка. Длины участков пешего маршрута приведены в таблице.

Обратно из Сосновки в Берёзовку туристы возвращаются по шоссе длиной 18 км.

Вопрос 5. Грунтовая дорога от Берёзовки до моста идёт строго на восток, а тропа от моста до турбазы «Светлой» — строго на север, поэтому эти участки перпендикулярны. Через поле напрямую от Берёзовки до турбазы проложена прямая тропа. На сколько километров прямая тропа короче пути от Берёзовки до турбазы через мост?

Грунтовая дорога Берёзовка — мост идёт на восток, а тропа мост — турбаза идёт на север, поэтому эти участки перпендикулярны. Точки Берёзовка, мост и турбаза образуют прямоугольный треугольник с катетами $6$ км и $8$ км, а прямая тропа Берёзовка — турбаза является его гипотенузой. По теореме Пифагора:

$$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ км}.$$

Путь через мост равен $6+8=14$ км. Значит, прямая тропа короче на:

$$14-10=4\text{ км}.$$

Ответ: 4.