Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

Пусть DL — биссектриса угла ADC, а CL — биссектриса угла BCD; по условию обе проходят через точку L на стороне AB. Докажем, что AL = AD. Так как ABCD — параллелограмм, то AB DC. Прямая DL — секущая при параллельных прямых AB и DC, поэтому ALD = LDC как накрест лежащие углы. Кроме того, DL — биссектриса угла ADC, значит ADL = LDC. Отсюда ALD = ADL, то есть треугольник ADL — равнобедренный с равными углами при основании DL, поэтому AL = AD. Докажем, что BL = BC. Аналогично, CL — секущая при параллельных прямых AB и DC, поэтому BLC = LCD как накрест лежащие углы. Так как CL — биссектриса угла BCD, то BCL = LCD. Отсюда BLC = BCL, треугольник BCL — равнобедренный, поэтому BL = BC. Завершение. Противоположные стороны параллелограмма равны: AD = BC. Следовательно, AL = AD = BC = BL, то есть AL = LB, а значит, точка L — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.

Доказательство