Задача №19727

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются
в точке $L\text{,}$ лежащей на стороне $AB\text{.}$ Докажите, что $L$ — середина $AB\text{.}$

Пусть $DL$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ а $CL$ — биссектриса угла $BCD\text{;}$ по условию обе проходят через точку $L$ на стороне $AB\text{.}$

1. Докажем, что $AL=AD\text{.}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB\parallel DC\text{.}$ Прямая $DL$ — секущая при параллельных прямых $AB$ и $DC\text{,}$ поэтому

как накрест лежащие углы. Кроме того, $DL$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ значит

Отсюда $\angle ALD=\angle ADL\text{,}$ то есть треугольник $ADL$ — равнобедренный с равными углами при основании $DL\text{,}$ поэтому

2. Докажем, что $BL=BC\text{.}$

Аналогично, $CL$ — секущая при параллельных прямых $AB$ и $DC\text{,}$ поэтому

как накрест лежащие углы. Так как $CL$ — биссектриса угла $BCD\text{,}$ то

Отсюда $\angle BLC=\angle BCL\text{,}$ треугольник $BCL$ — равнобедренный, поэтому

3. Завершение.

Противоположные стороны параллелограмма равны: $AD=BC\text{.}$ Следовательно,

то есть $AL=LB\text{,}$ а значит, точка $L$ — середина стороны $AB\text{.}$ Что и требовалось доказать. $■$